Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18296 / 19064
↖ ↑ ↗
← S 28.226970°
E 21.005859°		 ← 1 076.36 m → S 28.226970°
E 21.016846°		 →
↑
1 076.32 m
↓
↑
1 076.32 m
↓
S 28.236649°
E 21.005859°		 ← 1 076.27 m →
1 158 455 m²		 S 28.236649°
E 21.016846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558364868164062 y=0.581802368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558364868164062 × 215)
    floor (0.558364868164062 × 32768)
    floor (18296.5)     		tx = 18296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581802368164062 × 215)
    floor (0.581802368164062 × 32768)
    floor (19064.5)     		ty = 19064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18296 / 19064 ti = "15/18296/19064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18296/19064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18296 ÷ 215
    18296 ÷ 32768     		x = 0.558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19064 ÷ 215
    19064 ÷ 32768     		y = 0.581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558349609375 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36662141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36662141} λ = 0.36662141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513883563927002))-π/2
    2×atan(0.598168038345507)-π/2
    2×0.53907138088346-π/2
    1.07814276176692-1.57079632675     		φ = -0.49265356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36662141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.005859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49265356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18296 KachelY 19064 0.36662141 -0.49265356 21.005859 -28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 18297 KachelY 19064 0.36681316 -0.49265356 21.016846 -28.226970
    Unten links KachelX 18296 KachelY + 1 19065 0.36662141 -0.49282250 21.005859 -28.236649
    Unten rechts KachelX + 1 18297 KachelY + 1 19065 0.36681316 -0.49282250 21.016846 -28.236649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49265356--0.49282250) × R
    0.000168940000000006 × 6371000     		dl = 1076.31674000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49265356--0.49282250) × R
    0.000168940000000006 × 6371000     		dr = 1076.31674000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36662141-0.36681316) × cos(-0.49265356) × R
    0.000191750000000046 × 0.881080919624945 × 6371000     		do = 1076.36303384019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36662141-0.36681316) × cos(-0.49282250) × R
    0.000191750000000046 × 0.881001004251681 × 6371000     		du = 1076.26540608353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49265356)-sin(-0.49282250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881080919624945-0.881001004251681)×R²
    abs(0.36681316-0.36662141)×7.99153732636837e-05×R²
    0.000191750000000046×7.99153732636837e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.99153732636837e-05×40589641000000     		ar = 1158455.01520068m²