Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18295 / 19095
↖ ↑ ↗
← S 28.526623°
E 20.994873°		 ← 1 073.33 m → S 28.526623°
E 21.005859°		 →
↑
1 073.26 m
↓
↑
1 073.26 m
↓
S 28.536275°
E 20.994873°		 ← 1 073.23 m →
1 151 904 m²		 S 28.536275°
E 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558334350585938 y=0.582748413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558334350585938 × 215)
    floor (0.558334350585938 × 32768)
    floor (18295.5)     		tx = 18295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582748413085938 × 215)
    floor (0.582748413085938 × 32768)
    floor (19095.5)     		ty = 19095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18295 / 19095 ti = "15/18295/19095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18295/19095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18295 ÷ 215
    18295 ÷ 32768     		x = 0.558319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19095 ÷ 215
    19095 ÷ 32768     		y = 0.582733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558319091796875 × 2 - 1) × π
    0.11663818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36642966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.16546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.519827739479889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36642966} λ = 0.36642966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519827739479889))-π/2
    2×atan(0.594622969210319)-π/2
    2×0.536456420564656-π/2
    1.07291284112931-1.57079632675     		φ = -0.49788349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36642966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.994873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49788349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.526623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18295 KachelY 19095 0.36642966 -0.49788349 20.994873 -28.526623
    Oben rechts KachelX + 1 18296 KachelY 19095 0.36662141 -0.49788349 21.005859 -28.526623
    Unten links KachelX 18295 KachelY + 1 19096 0.36642966 -0.49805195 20.994873 -28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 18296 KachelY + 1 19096 0.36662141 -0.49805195 21.005859 -28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49788349--0.49805195) × R
    0.000168460000000037 × 6371000     		dl = 1073.25866000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49788349--0.49805195) × R
    0.000168460000000037 × 6371000     		dr = 1073.25866000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36642966-0.36662141) × cos(-0.49788349) × R
    0.000191749999999991 × 0.878595304464414 × 6371000     		do = 1073.32650879938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36642966-0.36662141) × cos(-0.49805195) × R
    0.000191749999999991 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 1073.22821153678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49788349)-sin(-0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878595304464414-0.878514841052166)×R²
    abs(0.36662141-0.36642966)×8.04634122476555e-05×R²
    0.000191749999999991×8.04634122476555e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.04634122476555e-05×40589641000000     		ar = 1151904.22410656m²