Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18294 / 51537
↖ ↑ ↗
← S 71.217844°
W 79.508057°		 ← 196.66 m → S 71.217844°
W 79.502564°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 71.219612°
W 79.508057°		 ← 196.64 m →
38 675 m²		 S 71.219612°
W 79.502564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279151916503906 y=0.786399841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279151916503906 × 216)
    floor (0.279151916503906 × 65536)
    floor (18294.5)     		tx = 18294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786399841308594 × 216)
    floor (0.786399841308594 × 65536)
    floor (51537.5)     		ty = 51537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18294 / 51537 ti = "16/18294/51537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18294/51537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18294 ÷ 216
    18294 ÷ 65536     		x = 0.279144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51537 ÷ 216
    51537 ÷ 65536     		y = 0.786392211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.44171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38767737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786392211914062 × 2 - 1) × π
    -0.572784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79945533793767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38767737} λ = -1.38767737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79945533793767))-π/2
    2×atan(0.165388944777915)-π/2
    2×0.163905231550942-π/2
    0.327810463101885-1.57079632675     		φ = -1.24298586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38767737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.508057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24298586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.217844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18294 KachelY 51537 -1.38767737 -1.24298586 -79.508057 -71.217844
    Oben rechts KachelX + 1 18295 KachelY 51537 -1.38758150 -1.24298586 -79.502564 -71.217844
    Unten links KachelX 18294 KachelY + 1 51538 -1.38767737 -1.24301673 -79.508057 -71.219612
    Unten rechts KachelX + 1 18295 KachelY + 1 51538 -1.38758150 -1.24301673 -79.502564 -71.219612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24298586--1.24301673) × R
    3.08699999997941e-05 × 6371000     		dl = 196.672769998688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24298586--1.24301673) × R
    3.08699999997941e-05 × 6371000     		dr = 196.672769998688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38767737--1.38758150) × cos(-1.24298586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321970862185493 × 6371000     		do = 196.65586491925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38767737--1.38758150) × cos(-1.24301673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321941635872605 × 6371000     		du = 196.638013844776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24298586)-sin(-1.24301673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321970862185493-0.321941635872605)×R²
    abs(-1.38758150--1.38767737)×2.9226312887709e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9226312887709e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9226312887709e-05×40589641000000     		ar = 38675.0982830897m²