Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18293 / 19620
↖ ↑ ↗
← S 33.468108°
E 20.972901°		 ← 1 019.03 m → S 33.468108°
E 20.983887°		 →
↑
1 018.98 m
↓
↑
1 018.98 m
↓
S 33.477272°
E 20.972901°		 ← 1 018.92 m →
1 038 314 m²		 S 33.477272°
E 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558273315429688 y=0.598770141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558273315429688 × 215)
    floor (0.558273315429688 × 32768)
    floor (18293.5)     		tx = 18293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598770141601562 × 215)
    floor (0.598770141601562 × 32768)
    floor (19620.5)     		ty = 19620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18293 / 19620 ti = "15/18293/19620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18293/19620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18293 ÷ 215
    18293 ÷ 32768     		x = 0.558258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19620 ÷ 215
    19620 ÷ 32768     		y = 0.5987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558258056640625 × 2 - 1) × π
    0.11651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36604617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.620495228682007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36604617} λ = 0.36604617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620495228682007))-π/2
    2×atan(0.537678098034789)-π/2
    2×0.493333824288583-π/2
    0.986667648577166-1.57079632675     		φ = -0.58412868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36604617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.972901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58412868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.468108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18293 KachelY 19620 0.36604617 -0.58412868 20.972901 -33.468108
    Oben rechts KachelX + 1 18294 KachelY 19620 0.36623791 -0.58412868 20.983887 -33.468108
    Unten links KachelX 18293 KachelY + 1 19621 0.36604617 -0.58428862 20.972901 -33.477272
    Unten rechts KachelX + 1 18294 KachelY + 1 19621 0.36623791 -0.58428862 20.983887 -33.477272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58412868--0.58428862) × R
    0.000159940000000081 × 6371000     		dl = 1018.97774000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58412868--0.58428862) × R
    0.000159940000000081 × 6371000     		dr = 1018.97774000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36604617-0.36623791) × cos(-0.58412868) × R
    0.000191739999999996 × 0.834192911715489 × 6371000     		do = 1019.029656593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36604617-0.36623791) × cos(-0.58428862) × R
    0.000191739999999996 × 0.83410469849572 × 6371000     		du = 1018.92189748142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58412868)-sin(-0.58428862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834192911715489-0.83410469849572)×R²
    abs(0.36623791-0.36604617)×8.82132197688179e-05×R²
    0.000191739999999996×8.82132197688179e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.82132197688179e-05×40589641000000     		ar = 1038313.63661407m²