Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18293 / 19001
↖ ↑ ↗
← S 27.615406°
E 20.972901°		 ← 1 082.41 m → S 27.615406°
E 20.983887°		 →
↑
1 082.43 m
↓
↑
1 082.43 m
↓
S 27.625141°
E 20.972901°		 ← 1 082.32 m →
1 171 587 m²		 S 27.625141°
E 20.983887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558273315429688 y=0.579879760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558273315429688 × 215)
    floor (0.558273315429688 × 32768)
    floor (18293.5)     		tx = 18293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579879760742188 × 215)
    floor (0.579879760742188 × 32768)
    floor (19001.5)     		ty = 19001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18293 / 19001 ti = "15/18293/19001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18293/19001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18293 ÷ 215
    18293 ÷ 32768     		x = 0.558258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19001 ÷ 215
    19001 ÷ 32768     		y = 0.579864501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558258056640625 × 2 - 1) × π
    0.11651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36604617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.15972900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.501803465222748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36604617} λ = 0.36604617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501803465222748))-π/2
    2×atan(0.605437788535105)-π/2
    2×0.544408283799371-π/2
    1.08881656759874-1.57079632675     		φ = -0.48197976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36604617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.972901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48197976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.615406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18293 KachelY 19001 0.36604617 -0.48197976 20.972901 -27.615406
    Oben rechts KachelX + 1 18294 KachelY 19001 0.36623791 -0.48197976 20.983887 -27.615406
    Unten links KachelX 18293 KachelY + 1 19002 0.36604617 -0.48214966 20.972901 -27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 18294 KachelY + 1 19002 0.36623791 -0.48214966 20.983887 -27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48197976--0.48214966) × R
    0.000169900000000001 × 6371000     		dl = 1082.4329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48197976--0.48214966) × R
    0.000169900000000001 × 6371000     		dr = 1082.4329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36604617-0.36623791) × cos(-0.48197976) × R
    0.000191739999999996 × 0.88607897317051 × 6371000     		do = 1082.41240013339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36604617-0.36623791) × cos(-0.48214966) × R
    0.000191739999999996 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 1082.31617996657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48197976)-sin(-0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88607897317051-0.886000205903432)×R²
    abs(0.36623791-0.36604617)×7.8767267078117e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8767267078117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8767267078117e-05×40589641000000     		ar = 1171586.72015361m²