Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18292 / 19628
↖ ↑ ↗
← S 33.541395°
E 20.961914°		 ← 1 018.22 m → S 33.541395°
E 20.972901°		 →
↑
1 018.15 m
↓
↑
1 018.15 m
↓
S 33.550551°
E 20.961914°		 ← 1 018.11 m →
1 036 646 m²		 S 33.550551°
E 20.972901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558242797851562 y=0.599014282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558242797851562 × 215)
    floor (0.558242797851562 × 32768)
    floor (18292.5)     		tx = 18292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599014282226562 × 215)
    floor (0.599014282226562 × 32768)
    floor (19628.5)     		ty = 19628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18292 / 19628 ti = "15/18292/19628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18292/19628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18292 ÷ 215
    18292 ÷ 32768     		x = 0.5582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19628 ÷ 215
    19628 ÷ 32768     		y = 0.5989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5582275390625 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36585442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.197998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.622029209469849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36585442} λ = 0.36585442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622029209469849))-π/2
    2×atan(0.536853942443392)-π/2
    2×0.492694277062546-π/2
    0.985388554125093-1.57079632675     		φ = -0.58540777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36585442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58540777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.541395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18292 KachelY 19628 0.36585442 -0.58540777 20.961914 -33.541395
    Oben rechts KachelX + 1 18293 KachelY 19628 0.36604617 -0.58540777 20.972901 -33.541395
    Unten links KachelX 18292 KachelY + 1 19629 0.36585442 -0.58556758 20.961914 -33.550551
    Unten rechts KachelX + 1 18293 KachelY + 1 19629 0.36604617 -0.58556758 20.972901 -33.550551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58540777--0.58556758) × R
    0.000159809999999982 × 6371000     		dl = 1018.14950999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58540777--0.58556758) × R
    0.000159809999999982 × 6371000     		dr = 1018.14950999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36585442-0.36604617) × cos(-0.58540777) × R
    0.000191749999999991 × 0.833486846237835 × 6371000     		do = 1018.2202457228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36585442-0.36604617) × cos(-0.58556758) × R
    0.000191749999999991 × 0.833398534289499 × 6371000     		du = 1018.11236038047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58540777)-sin(-0.58556758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833486846237835-0.833398534289499)×R²
    abs(0.36604617-0.36585442)×8.83119483362504e-05×R²
    0.000191749999999991×8.83119483362504e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.83119483362504e-05×40589641000000     		ar = 1036645.52475741m²