Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18291 / 52532
↖ ↑ ↗
← S 72.900264°
W 79.524536°		 ← 179.59 m → S 72.900264°
W 79.519043°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 72.901879°
W 79.524536°		 ← 179.58 m →
32 253 m²		 S 72.901879°
W 79.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279106140136719 y=0.801582336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279106140136719 × 216)
    floor (0.279106140136719 × 65536)
    floor (18291.5)     		tx = 18291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801582336425781 × 216)
    floor (0.801582336425781 × 65536)
    floor (52532.5)     		ty = 52532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18291 / 52532 ti = "16/18291/52532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18291/52532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18291 ÷ 216
    18291 ÷ 65536     		x = 0.279098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52532 ÷ 216
    52532 ÷ 65536     		y = 0.80157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.441802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38796499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.6031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89484976818158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38796499} λ = -1.38796499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89484976818158))-π/2
    2×atan(0.150340919339613)-π/2
    2×0.149223348369954-π/2
    0.298446696739907-1.57079632675     		φ = -1.27234963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38796499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.524536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27234963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.900264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18291 KachelY 52532 -1.38796499 -1.27234963 -79.524536 -72.900264
    Oben rechts KachelX + 1 18292 KachelY 52532 -1.38786912 -1.27234963 -79.519043 -72.900264
    Unten links KachelX 18291 KachelY + 1 52533 -1.38796499 -1.27237782 -79.524536 -72.901879
    Unten rechts KachelX + 1 18292 KachelY + 1 52533 -1.38786912 -1.27237782 -79.519043 -72.901879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27234963--1.27237782) × R
    2.81900000000945e-05 × 6371000     		dl = 179.598490000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27234963--1.27237782) × R
    2.81900000000945e-05 × 6371000     		dr = 179.598490000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38796499--1.38786912) × cos(-1.27234963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29403592351931 × 6371000     		do = 179.593546026246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38796499--1.38786912) × cos(-1.27237782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294008979559222 × 6371000     		du = 179.577088984949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27234963)-sin(-1.27237782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29403592351931-0.294008979559222)×R²
    abs(-1.38786912--1.38796499)×2.69439600883437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69439600883437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69439600883437e-05×40589641000000     		ar = 32253.2518523804m²