Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18290 / 19622
↖ ↑ ↗
← S 33.486435°
E 20.939941°		 ← 1 018.87 m → S 33.486435°
E 20.950928°		 →
↑
1 018.85 m
↓
↑
1 018.85 m
↓
S 33.495598°
E 20.939941°		 ← 1 018.76 m →
1 038 018 m²		 S 33.495598°
E 20.950928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558181762695312 y=0.598831176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558181762695312 × 215)
    floor (0.558181762695312 × 32768)
    floor (18290.5)     		tx = 18290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598831176757812 × 215)
    floor (0.598831176757812 × 32768)
    floor (19622.5)     		ty = 19622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18290 / 19622 ti = "15/18290/19622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18290/19622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18290 ÷ 215
    18290 ÷ 32768     		x = 0.55816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19622 ÷ 215
    19622 ÷ 32768     		y = 0.59881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55816650390625 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36547092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.620878723878967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36547092} λ = 0.36547092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620878723878967))-π/2
    2×atan(0.537471940599402)-π/2
    2×0.493173886716598-π/2
    0.986347773433197-1.57079632675     		φ = -0.58444855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36547092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.939941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58444855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.486435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18290 KachelY 19622 0.36547092 -0.58444855 20.939941 -33.486435
    Oben rechts KachelX + 1 18291 KachelY 19622 0.36566267 -0.58444855 20.950928 -33.486435
    Unten links KachelX 18290 KachelY + 1 19623 0.36547092 -0.58460847 20.939941 -33.495598
    Unten rechts KachelX + 1 18291 KachelY + 1 19623 0.36566267 -0.58460847 20.950928 -33.495598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58444855--0.58460847) × R
    0.000159920000000091 × 6371000     		dl = 1018.85032000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58444855--0.58460847) × R
    0.000159920000000091 × 6371000     		dr = 1018.85032000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36547092-0.36566267) × cos(-0.58444855) × R
    0.000191750000000046 × 0.834016469456278 × 6371000     		do = 1018.86725423446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36547092-0.36566267) × cos(-0.58460847) × R
    0.000191750000000046 × 0.833928224603422 × 6371000     		du = 1018.7594508586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58444855)-sin(-0.58460847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834016469456278-0.833928224603422)×R²
    abs(0.36566267-0.36547092)×8.82448528561897e-05×R²
    0.000191750000000046×8.82448528561897e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.82448528561897e-05×40589641000000     		ar = 1038018.31247483m²