Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18290 / 14230
↖ ↑ ↗
← N 70.804979°
W 79.530030°		 ← 200.84 m → N 70.804979°
W 79.524536°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 70.803172°
W 79.530030°		 ← 200.86 m →
40 346 m²		 N 70.803172°
W 79.524536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279090881347656 y=0.217140197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279090881347656 × 216)
    floor (0.279090881347656 × 65536)
    floor (18290.5)     		tx = 18290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217140197753906 × 216)
    floor (0.217140197753906 × 65536)
    floor (14230.5)     		ty = 14230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18290 / 14230 ti = "16/18290/14230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18290/14230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18290 ÷ 216
    18290 ÷ 65536     		x = 0.279083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14230 ÷ 216
    14230 ÷ 65536     		y = 0.217132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.44183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38806087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217132568359375 × 2 - 1) × π
    0.56573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7773084903132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38806087} λ = -1.38806087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7773084903132))-π/2
    2×atan(5.91391761194745)-π/2
    2×1.40328816591719-π/2
    2.80657633183437-1.57079632675     		φ = 1.23578001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38806087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.530030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23578001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.804979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18290 KachelY 14230 -1.38806087 1.23578001 -79.530030 70.804979
    Oben rechts KachelX + 1 18291 KachelY 14230 -1.38796499 1.23578001 -79.524536 70.804979
    Unten links KachelX 18290 KachelY + 1 14231 -1.38806087 1.23574848 -79.530030 70.803172
    Unten rechts KachelX + 1 18291 KachelY + 1 14231 -1.38796499 1.23574848 -79.524536 70.803172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23578001-1.23574848) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23578001-1.23574848) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38806087--1.38796499) × cos(1.23578001) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328784579579458 × 6371000     		do = 200.838547037158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38806087--1.38796499) × cos(1.23574848) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328814356503941 × 6371000     		du = 200.856736315548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23578001)-sin(1.23574848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328784579579458-0.328814356503941)×R²
    abs(-1.38796499--1.38806087)×2.97769244833601e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97769244833601e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97769244833601e-05×40589641000000     		ar = 40345.7982544507m²