Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18289 / 19625
↖ ↑ ↗
← S 33.513919°
E 20.928955°		 ← 1 018.49 m → S 33.513919°
E 20.939941°		 →
↑
1 018.47 m
↓
↑
1 018.47 m
↓
S 33.523079°
E 20.928955°		 ← 1 018.38 m →
1 037 245 m²		 S 33.523079°
E 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558151245117188 y=0.598922729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558151245117188 × 215)
    floor (0.558151245117188 × 32768)
    floor (18289.5)     		tx = 18289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598922729492188 × 215)
    floor (0.598922729492188 × 32768)
    floor (19625.5)     		ty = 19625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18289 / 19625 ti = "15/18289/19625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18289/19625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18289 ÷ 215
    18289 ÷ 32768     		x = 0.558135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19625 ÷ 215
    19625 ÷ 32768     		y = 0.598907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558135986328125 × 2 - 1) × π
    0.11627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36527918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.19781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.621453966674408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36527918} λ = 0.36527918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621453966674408))-π/2
    2×atan(0.537162852646653)-π/2
    2×0.492934043806854-π/2
    0.985868087613707-1.57079632675     		φ = -0.58492824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36527918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58492824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.513919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18289 KachelY 19625 0.36527918 -0.58492824 20.928955 -33.513919
    Oben rechts KachelX + 1 18290 KachelY 19625 0.36547092 -0.58492824 20.939941 -33.513919
    Unten links KachelX 18289 KachelY + 1 19626 0.36527918 -0.58508810 20.928955 -33.523079
    Unten rechts KachelX + 1 18290 KachelY + 1 19626 0.36547092 -0.58508810 20.939941 -33.523079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58492824--0.58508810) × R
    0.000159860000000012 × 6371000     		dl = 1018.46806000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58492824--0.58508810) × R
    0.000159860000000012 × 6371000     		dr = 1018.46806000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36527918-0.36547092) × cos(-0.58492824) × R
    0.000191739999999996 × 0.83375170956808 × 6371000     		do = 1018.49069484153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36527918-0.36547092) × cos(-0.58508810) × R
    0.000191739999999996 × 0.833663433886043 × 6371000     		du = 1018.38285942758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58492824)-sin(-0.58508810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83375170956808-0.833663433886043)×R²
    abs(0.36547092-0.36527918)×8.82756820372865e-05×R²
    0.000191739999999996×8.82756820372865e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.82756820372865e-05×40589641000000     		ar = 1037245.33084983m²