Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18289 / 19619
↖ ↑ ↗
← S 33.458943°
E 20.928955°		 ← 1 019.14 m → S 33.458943°
E 20.939941°		 →
↑
1 019.11 m
↓
↑
1 019.11 m
↓
S 33.468108°
E 20.928955°		 ← 1 019.03 m →
1 038 553 m²		 S 33.468108°
E 20.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558151245117188 y=0.598739624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558151245117188 × 215)
    floor (0.558151245117188 × 32768)
    floor (18289.5)     		tx = 18289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598739624023438 × 215)
    floor (0.598739624023438 × 32768)
    floor (19619.5)     		ty = 19619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18289 / 19619 ti = "15/18289/19619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18289/19619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18289 ÷ 215
    18289 ÷ 32768     		x = 0.558135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19619 ÷ 215
    19619 ÷ 32768     		y = 0.598724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558135986328125 × 2 - 1) × π
    0.11627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36527918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.19744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.620303481083527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36527918} λ = 0.36527918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.620303481083527))-π/2
    2×atan(0.537781206403918)-π/2
    2×0.49341380576077-π/2
    0.986827611521541-1.57079632675     		φ = -0.58396872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36527918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.928955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58396872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.458943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18289 KachelY 19619 0.36527918 -0.58396872 20.928955 -33.458943
    Oben rechts KachelX + 1 18290 KachelY 19619 0.36547092 -0.58396872 20.939941 -33.458943
    Unten links KachelX 18289 KachelY + 1 19620 0.36527918 -0.58412868 20.928955 -33.468108
    Unten rechts KachelX + 1 18290 KachelY + 1 19620 0.36547092 -0.58412868 20.939941 -33.468108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58396872--0.58412868) × R
    0.000159959999999959 × 6371000     		dl = 1019.10515999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58396872--0.58412868) × R
    0.000159959999999959 × 6371000     		dr = 1019.10515999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36527918-0.36547092) × cos(-0.58396872) × R
    0.000191739999999996 × 0.834281114622719 × 6371000     		do = 1019.13740310703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36527918-0.36547092) × cos(-0.58412868) × R
    0.000191739999999996 × 0.834192911715489 × 6371000     		du = 1019.029656593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58396872)-sin(-0.58412868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834281114622719-0.834192911715489)×R²
    abs(0.36547092-0.36527918)×8.8202907229884e-05×R²
    0.000191739999999996×8.8202907229884e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.8202907229884e-05×40589641000000     		ar = 1038553.28595492m²