Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18289 / 14229
↖ ↑ ↗
← N 70.806785°
W 79.535523°		 ← 200.80 m → N 70.806785°
W 79.530030°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 70.804979°
W 79.535523°		 ← 200.82 m →
40 325 m²		 N 70.804979°
W 79.530030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279075622558594 y=0.217124938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279075622558594 × 216)
    floor (0.279075622558594 × 65536)
    floor (18289.5)     		tx = 18289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217124938964844 × 216)
    floor (0.217124938964844 × 65536)
    floor (14229.5)     		ty = 14229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18289 / 14229 ti = "16/18289/14229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18289/14229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18289 ÷ 216
    18289 ÷ 65536     		x = 0.279067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14229 ÷ 216
    14229 ÷ 65536     		y = 0.217117309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.441864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38815674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217117309570312 × 2 - 1) × π
    0.565765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77740436411244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38815674} λ = -1.38815674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77740436411244))-π/2
    2×atan(5.9144846288779)-π/2
    2×1.40330392611729-π/2
    2.80660785223459-1.57079632675     		φ = 1.23581153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38815674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.535523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23581153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.806785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18289 KachelY 14229 -1.38815674 1.23581153 -79.535523 70.806785
    Oben rechts KachelX + 1 18290 KachelY 14229 -1.38806087 1.23581153 -79.530030 70.806785
    Unten links KachelX 18289 KachelY + 1 14230 -1.38815674 1.23578001 -79.535523 70.804979
    Unten rechts KachelX + 1 18290 KachelY + 1 14230 -1.38806087 1.23578001 -79.530030 70.804979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23581153-1.23578001) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23581153-1.23578001) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38815674--1.38806087) × cos(1.23581153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328754811772269 × 6371000     		do = 200.79941835915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38815674--1.38806087) × cos(1.23578001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328784579579458 × 6371000     		du = 200.81760017172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23581153)-sin(1.23578001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328754811772269-0.328784579579458)×R²
    abs(-1.38806087--1.38815674)×2.97678071884411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97678071884411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97678071884411e-05×40589641000000     		ar = 40325.1439183359m²