Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18288 / 52566
↖ ↑ ↗
← S 72.955095°
W 79.541015°		 ← 179.03 m → S 72.955095°
W 79.535523°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 72.956705°
W 79.541015°		 ← 179.02 m →
32 050 m²		 S 72.956705°
W 79.535523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279060363769531 y=0.802101135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279060363769531 × 216)
    floor (0.279060363769531 × 65536)
    floor (18288.5)     		tx = 18288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802101135253906 × 216)
    floor (0.802101135253906 × 65536)
    floor (52566.5)     		ty = 52566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18288 / 52566 ti = "16/18288/52566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18288/52566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18288 ÷ 216
    18288 ÷ 65536     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52566 ÷ 216
    52566 ÷ 65536     		y = 0.802093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.60418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89810947735574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89810947735574))-π/2
    2×atan(0.149851649537458)-π/2
    2×0.148744858426017-π/2
    0.297489716852034-1.57079632675     		φ = -1.27330661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27330661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.955095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18288 KachelY 52566 -1.38825261 -1.27330661 -79.541015 -72.955095
    Oben rechts KachelX + 1 18289 KachelY 52566 -1.38815674 -1.27330661 -79.535523 -72.955095
    Unten links KachelX 18288 KachelY + 1 52567 -1.38825261 -1.27333471 -79.541015 -72.956705
    Unten rechts KachelX + 1 18289 KachelY + 1 52567 -1.38815674 -1.27333471 -79.535523 -72.956705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27330661--1.27333471) × R
    2.81000000001974e-05 × 6371000     		dl = 179.025100001258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27330661--1.27333471) × R
    2.81000000001974e-05 × 6371000     		dr = 179.025100001258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38815674) × cos(-1.27330661) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.293121112923127 × 6371000     		do = 179.034790902646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38815674) × cos(-1.27333471) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.293094247090977 × 6371000     		du = 179.018381580937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27330661)-sin(-1.27333471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293121112923127-0.293094247090977)×R²
    abs(-1.38815674--1.38825261)×2.68658321503357e-05×R²
    9.58700000002199e-05×2.68658321503357e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×2.68658321503357e-05×40589641000000     		ar = 32050.2525070119m²