Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18288 / 19344
↖ ↑ ↗
← S 30.902225°
E 20.917969°		 ← 1 048.22 m → S 30.902225°
E 20.928955°		 →
↑
1 048.16 m
↓
↑
1 048.16 m
↓
S 30.911651°
E 20.917969°		 ← 1 048.12 m →
1 098 646 m²		 S 30.911651°
E 20.928955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558120727539062 y=0.590347290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558120727539062 × 215)
    floor (0.558120727539062 × 32768)
    floor (18288.5)     		tx = 18288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590347290039062 × 215)
    floor (0.590347290039062 × 32768)
    floor (19344.5)     		ty = 19344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18288 / 19344 ti = "15/18288/19344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18288/19344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18288 ÷ 215
    18288 ÷ 32768     		x = 0.55810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19344 ÷ 215
    19344 ÷ 32768     		y = 0.59033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55810546875 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567572891501465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36508743} λ = 0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567572891501465))-π/2
    2×atan(0.566899697360751)-π/2
    2×0.51572537975622-π/2
    1.03145075951244-1.57079632675     		φ = -0.53934557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53934557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.902225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18288 KachelY 19344 0.36508743 -0.53934557 20.917969 -30.902225
    Oben rechts KachelX + 1 18289 KachelY 19344 0.36527918 -0.53934557 20.928955 -30.902225
    Unten links KachelX 18288 KachelY + 1 19345 0.36508743 -0.53951009 20.917969 -30.911651
    Unten rechts KachelX + 1 18289 KachelY + 1 19345 0.36527918 -0.53951009 20.928955 -30.911651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53934557--0.53951009) × R
    0.000164520000000001 × 6371000     		dl = 1048.15692000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53934557--0.53951009) × R
    0.000164520000000001 × 6371000     		dr = 1048.15692000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36508743-0.36527918) × cos(-0.53934557) × R
    0.000191749999999991 × 0.858044963687684 × 6371000     		do = 1048.22140590565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36508743-0.36527918) × cos(-0.53951009) × R
    0.000191749999999991 × 0.857960458787316 × 6371000     		du = 1048.11817140254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53934557)-sin(-0.53951009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858044963687684-0.857960458787316)×R²
    abs(0.36527918-0.36508743)×8.45049003684872e-05×R²
    0.000191749999999991×8.45049003684872e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.45049003684872e-05×40589641000000     		ar = 1098646.41979095m²