Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18287 / 19615
↖ ↑ ↗
← S 33.422272°
E 20.906982°		 ← 1 019.62 m → S 33.422272°
E 20.917969°		 →
↑
1 019.55 m
↓
↑
1 019.55 m
↓
S 33.431441°
E 20.906982°		 ← 1 019.51 m →
1 039 501 m²		 S 33.431441°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558090209960938 y=0.598617553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558090209960938 × 215)
    floor (0.558090209960938 × 32768)
    floor (18287.5)     		tx = 18287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598617553710938 × 215)
    floor (0.598617553710938 × 32768)
    floor (19615.5)     		ty = 19615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18287 / 19615 ti = "15/18287/19615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18287/19615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18287 ÷ 215
    18287 ÷ 32768     		x = 0.558074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19615 ÷ 215
    19615 ÷ 32768     		y = 0.598602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.558074951171875 × 2 - 1) × π
    0.11614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36489568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.19720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.619536490689606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36489568} λ = 0.36489568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619536490689606))-π/2
    2×atan(0.538193837645132)-π/2
    2×0.493733816197251-π/2
    0.987467632394501-1.57079632675     		φ = -0.58332869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36489568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.906982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58332869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.422272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18287 KachelY 19615 0.36489568 -0.58332869 20.906982 -33.422272
    Oben rechts KachelX + 1 18288 KachelY 19615 0.36508743 -0.58332869 20.917969 -33.422272
    Unten links KachelX 18287 KachelY + 1 19616 0.36489568 -0.58348872 20.906982 -33.431441
    Unten rechts KachelX + 1 18288 KachelY + 1 19616 0.36508743 -0.58348872 20.917969 -33.431441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58332869--0.58348872) × R
    0.000160029999999978 × 6371000     		dl = 1019.55112999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58332869--0.58348872) × R
    0.000160029999999978 × 6371000     		dr = 1019.55112999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36489568-0.36508743) × cos(-0.58332869) × R
    0.000191749999999991 × 0.834633817412895 × 6371000     		do = 1019.62143072888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36489568-0.36508743) × cos(-0.58348872) × R
    0.000191749999999991 × 0.834545661366529 × 6371000     		du = 1019.51373584251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58332869)-sin(-0.58348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834633817412895-0.834545661366529)×R²
    abs(0.36508743-0.36489568)×8.81560463653619e-05×R²
    0.000191749999999991×8.81560463653619e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.81560463653619e-05×40589641000000     		ar = 1039501.28386874m²