Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18286 / 52563
↖ ↑ ↗
← S 72.950264°
W 79.552002°		 ← 179.08 m → S 72.950264°
W 79.546509°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 72.951874°
W 79.552002°		 ← 179.07 m →
32 070 m²		 S 72.951874°
W 79.546509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279029846191406 y=0.802055358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279029846191406 × 216)
    floor (0.279029846191406 × 65536)
    floor (18286.5)     		tx = 18286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802055358886719 × 216)
    floor (0.802055358886719 × 65536)
    floor (52563.5)     		ty = 52563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18286 / 52563 ti = "16/18286/52563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18286/52563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18286 ÷ 216
    18286 ÷ 65536     		x = 0.279022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52563 ÷ 216
    52563 ÷ 65536     		y = 0.802047729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.44195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38844436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802047729492188 × 2 - 1) × π
    -0.604095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89782185595802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38844436} λ = -1.38844436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89782185595802))-π/2
    2×atan(0.149894756277261)-π/2
    2×0.148787018174516-π/2
    0.297574036349032-1.57079632675     		φ = -1.27322229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38844436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.552002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27322229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.950264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18286 KachelY 52563 -1.38844436 -1.27322229 -79.552002 -72.950264
    Oben rechts KachelX + 1 18287 KachelY 52563 -1.38834849 -1.27322229 -79.546509 -72.950264
    Unten links KachelX 18286 KachelY + 1 52564 -1.38844436 -1.27325040 -79.552002 -72.951874
    Unten rechts KachelX + 1 18287 KachelY + 1 52564 -1.38834849 -1.27325040 -79.546509 -72.951874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27322229--1.27325040) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dl = 179.088809999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27322229--1.27325040) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dr = 179.088809999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38844436--1.38834849) × cos(-1.27322229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293201728151796 × 6371000     		do = 179.084029697978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38844436--1.38834849) × cos(-1.27325040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293174853453641 × 6371000     		du = 179.067614961022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27322229)-sin(-1.27325040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293201728151796-0.293174853453641)×R²
    abs(-1.38834849--1.38844436)×2.6874698155932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6874698155932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6874698155932e-05×40589641000000     		ar = 32070.4759226354m²