Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18286 / 19607
↖ ↑ ↗
← S 33.348885°
E 20.895996°		 ← 1 020.48 m → S 33.348885°
E 20.906982°		 →
↑
1 020.44 m
↓
↑
1 020.44 m
↓
S 33.358062°
E 20.895996°		 ← 1 020.37 m →
1 041 289 m²		 S 33.358062°
E 20.906982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558059692382812 y=0.598373413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558059692382812 × 215)
    floor (0.558059692382812 × 32768)
    floor (18286.5)     		tx = 18286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598373413085938 × 215)
    floor (0.598373413085938 × 32768)
    floor (19607.5)     		ty = 19607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18286 / 19607 ti = "15/18286/19607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18286/19607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18286 ÷ 215
    18286 ÷ 32768     		x = 0.55804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19607 ÷ 215
    19607 ÷ 32768     		y = 0.598358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55804443359375 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36470393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.19671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.618002509901764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36470393} λ = 0.36470393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618002509901764))-π/2
    2×atan(0.539020050187284)-π/2
    2×0.494374242658734-π/2
    0.988748485317467-1.57079632675     		φ = -0.58204784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36470393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.895996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58204784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.348885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18286 KachelY 19607 0.36470393 -0.58204784 20.895996 -33.348885
    Oben rechts KachelX + 1 18287 KachelY 19607 0.36489568 -0.58204784 20.906982 -33.348885
    Unten links KachelX 18286 KachelY + 1 19608 0.36470393 -0.58220801 20.895996 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 18287 KachelY + 1 19608 0.36489568 -0.58220801 20.906982 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58204784--0.58220801) × R
    0.000160170000000015 × 6371000     		dl = 1020.4430700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58204784--0.58220801) × R
    0.000160170000000015 × 6371000     		dr = 1020.4430700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36470393-0.36489568) × cos(-0.58204784) × R
    0.000191749999999991 × 0.83533863144624 × 6371000     		do = 1020.48245921596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36470393-0.36489568) × cos(-0.58220801) × R
    0.000191749999999991 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 1020.37487935926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58204784)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83533863144624-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36489568-0.36470393)×8.80618862703075e-05×R²
    0.000191749999999991×8.80618862703075e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.80618862703075e-05×40589641000000     		ar = 1041289.36623059m²