Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18285 / 52567
↖ ↑ ↗
← S 72.956705°
W 79.557495°		 ← 179.02 m → S 72.956705°
W 79.552002°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 72.958315°
W 79.557495°		 ← 179 m →
32 047 m²		 S 72.958315°
W 79.552002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279014587402344 y=0.802116394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279014587402344 × 216)
    floor (0.279014587402344 × 65536)
    floor (18285.5)     		tx = 18285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802116394042969 × 216)
    floor (0.802116394042969 × 65536)
    floor (52567.5)     		ty = 52567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18285 / 52567 ti = "16/18285/52567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18285/52567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18285 ÷ 216
    18285 ÷ 65536     		x = 0.279006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52567 ÷ 216
    52567 ÷ 65536     		y = 0.802108764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.441986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38854023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802108764648438 × 2 - 1) × π
    -0.604217529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89820535115498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38854023} λ = -1.38854023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89820535115498))-π/2
    2×atan(0.149837283379174)-π/2
    2×0.14873080775262-π/2
    0.29746161550524-1.57079632675     		φ = -1.27333471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38854023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.557495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27333471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.956705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18285 KachelY 52567 -1.38854023 -1.27333471 -79.557495 -72.956705
    Oben rechts KachelX + 1 18286 KachelY 52567 -1.38844436 -1.27333471 -79.552002 -72.956705
    Unten links KachelX 18285 KachelY + 1 52568 -1.38854023 -1.27336281 -79.557495 -72.958315
    Unten rechts KachelX + 1 18286 KachelY + 1 52568 -1.38844436 -1.27336281 -79.552002 -72.958315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27333471--1.27336281) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27333471--1.27336281) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38854023--1.38844436) × cos(-1.27333471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293094247090977 × 6371000     		do = 179.018381580523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38854023--1.38844436) × cos(-1.27336281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293067381027397 × 6371000     		du = 179.00197211746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27333471)-sin(-1.27336281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293094247090977-0.293067381027397)×R²
    abs(-1.38844436--1.38854023)×2.6866063580322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6866063580322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6866063580322e-05×40589641000000     		ar = 32047.3148134668m²