Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18282 / 19601
↖ ↑ ↗
← S 33.293803°
E 20.852051°		 ← 1 021.13 m → S 33.293803°
E 20.863037°		 →
↑
1 021.08 m
↓
↑
1 021.08 m
↓
S 33.302986°
E 20.852051°		 ← 1 021.02 m →
1 042 598 m²		 S 33.302986°
E 20.863037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557937622070312 y=0.598190307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557937622070312 × 215)
    floor (0.557937622070312 × 32768)
    floor (18282.5)     		tx = 18282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598190307617188 × 215)
    floor (0.598190307617188 × 32768)
    floor (19601.5)     		ty = 19601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18282 / 19601 ti = "15/18282/19601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18282/19601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18282 ÷ 215
    18282 ÷ 32768     		x = 0.55792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19601 ÷ 215
    19601 ÷ 32768     		y = 0.598175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55792236328125 × 2 - 1) × π
    0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.19635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.616852024310883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36393694} λ = 0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616852024310883))-π/2
    2×atan(0.53964054185314)-π/2
    2×0.494854917102141-π/2
    0.989709834204282-1.57079632675     		φ = -0.58108649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58108649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.293803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18282 KachelY 19601 0.36393694 -0.58108649 20.852051 -33.293803
    Oben rechts KachelX + 1 18283 KachelY 19601 0.36412869 -0.58108649 20.863037 -33.293803
    Unten links KachelX 18282 KachelY + 1 19602 0.36393694 -0.58124676 20.852051 -33.302986
    Unten rechts KachelX + 1 18283 KachelY + 1 19602 0.36412869 -0.58124676 20.863037 -33.302986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58108649--0.58124676) × R
    0.000160269999999962 × 6371000     		dl = 1021.08016999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58108649--0.58124676) × R
    0.000160269999999962 × 6371000     		dr = 1021.08016999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36393694-0.36412869) × cos(-0.58108649) × R
    0.000191749999999991 × 0.835866733799729 × 6371000     		do = 1021.127609779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36393694-0.36412869) × cos(-0.58124676) × R
    0.000191749999999991 × 0.835778745665684 × 6371000     		du = 1021.02012002092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58108649)-sin(-0.58124676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835866733799729-0.835778745665684)×R²
    abs(0.36412869-0.36393694)×8.79881340443145e-05×R²
    0.000191749999999991×8.79881340443145e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.79881340443145e-05×40589641000000     		ar = 1042598.27778627m²