Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18281 / 51503
↖ ↑ ↗
← S 71.157617°
W 79.579468°		 ← 197.26 m → S 71.157617°
W 79.573975°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 71.159391°
W 79.579468°		 ← 197.25 m →
38 908 m²		 S 71.159391°
W 79.573975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278953552246094 y=0.785881042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278953552246094 × 216)
    floor (0.278953552246094 × 65536)
    floor (18281.5)     		tx = 18281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785881042480469 × 216)
    floor (0.785881042480469 × 65536)
    floor (51503.5)     		ty = 51503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18281 / 51503 ti = "16/18281/51503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18281/51503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18281 ÷ 216
    18281 ÷ 65536     		x = 0.278945922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51503 ÷ 216
    51503 ÷ 65536     		y = 0.785873413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278945922851562 × 2 - 1) × π
    -0.442108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38892373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.571746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7961956287635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38892373} λ = -1.38892373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7961956287635))-π/2
    2×atan(0.165928944281024)-π/2
    2×0.164430807715916-π/2
    0.328861615431831-1.57079632675     		φ = -1.24193471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38892373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.579468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24193471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.157617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18281 KachelY 51503 -1.38892373 -1.24193471 -79.579468 -71.157617
    Oben rechts KachelX + 1 18282 KachelY 51503 -1.38882786 -1.24193471 -79.573975 -71.157617
    Unten links KachelX 18281 KachelY + 1 51504 -1.38892373 -1.24196567 -79.579468 -71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 18282 KachelY + 1 51504 -1.38882786 -1.24196567 -79.573975 -71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24193471--1.24196567) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dl = 197.246159999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24193471--1.24196567) × R
    3.09599999999133e-05 × 6371000     		dr = 197.246159999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38892373--1.38882786) × cos(-1.24193471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322965859945985 × 6371000     		do = 197.263597382536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38892373--1.38882786) × cos(-1.24196567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 197.245700673328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24193471)-sin(-1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322965859945985-0.322936558918546)×R²
    abs(-1.38882786--1.38892373)×2.93010274388661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93010274388661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93010274388661e-05×40589641000000     		ar = 38907.72206607m²