Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18281 / 51339
↖ ↑ ↗
← S 70.864490°
W 79.579468°		 ← 200.22 m → S 70.864490°
W 79.573975°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
S 70.866291°
W 79.579468°		 ← 200.20 m →
40 090 m²		 S 70.866291°
W 79.573975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278953552246094 y=0.783378601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278953552246094 × 216)
    floor (0.278953552246094 × 65536)
    floor (18281.5)     		tx = 18281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783378601074219 × 216)
    floor (0.783378601074219 × 65536)
    floor (51339.5)     		ty = 51339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18281 / 51339 ti = "16/18281/51339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18281/51339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18281 ÷ 216
    18281 ÷ 65536     		x = 0.278945922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51339 ÷ 216
    51339 ÷ 65536     		y = 0.783370971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278945922851562 × 2 - 1) × π
    -0.442108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38892373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.566741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78047232568813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38892373} λ = -1.38892373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78047232568813))-π/2
    2×atan(0.168558513947555)-π/2
    2×0.166988827078037-π/2
    0.333977654156073-1.57079632675     		φ = -1.23681867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38892373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.579468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23681867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.864490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18281 KachelY 51339 -1.38892373 -1.23681867 -79.579468 -70.864490
    Oben rechts KachelX + 1 18282 KachelY 51339 -1.38882786 -1.23681867 -79.573975 -70.864490
    Unten links KachelX 18281 KachelY + 1 51340 -1.38892373 -1.23685010 -79.579468 -70.866291
    Unten rechts KachelX + 1 18282 KachelY + 1 51340 -1.38882786 -1.23685010 -79.573975 -70.866291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23681867--1.23685010) × R
    3.14300000001655e-05 × 6371000     		dl = 200.240530001054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23681867--1.23685010) × R
    3.14300000001655e-05 × 6371000     		dr = 200.240530001054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38892373--1.38882786) × cos(-1.23681867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32780348676682 × 6371000     		do = 200.218360680526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38892373--1.38882786) × cos(-1.23685010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.327773793240305 × 6371000     		du = 200.200224237682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23681867)-sin(-1.23685010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32780348676682-0.327773793240305)×R²
    abs(-1.38882786--1.38892373)×2.9693526514829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9693526514829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9693526514829e-05×40589641000000     		ar = 40090.0148364217m²