Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18279 / 51509
↖ ↑ ↗
← S 71.168259°
W 79.590454°		 ← 197.18 m → S 71.168259°
W 79.584961°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
S 71.170032°
W 79.590454°		 ← 197.16 m →
38 878 m²		 S 71.170032°
W 79.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278923034667969 y=0.785972595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278923034667969 × 216)
    floor (0.278923034667969 × 65536)
    floor (18279.5)     		tx = 18279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785972595214844 × 216)
    floor (0.785972595214844 × 65536)
    floor (51509.5)     		ty = 51509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18279 / 51509 ti = "16/18279/51509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18279/51509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18279 ÷ 216
    18279 ÷ 65536     		x = 0.278915405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51509 ÷ 216
    51509 ÷ 65536     		y = 0.785964965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.442169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38911548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.571929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79677087155894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38911548} λ = -1.38911548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79677087155894))-π/2
    2×atan(0.165833522299306)-π/2
    2×0.16433794110609-π/2
    0.32867588221218-1.57079632675     		φ = -1.24212044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38911548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.590454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24212044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.168259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18279 KachelY 51509 -1.38911548 -1.24212044 -79.590454 -71.168259
    Oben rechts KachelX + 1 18280 KachelY 51509 -1.38901960 -1.24212044 -79.584961 -71.168259
    Unten links KachelX 18279 KachelY + 1 51510 -1.38911548 -1.24215139 -79.590454 -71.170032
    Unten rechts KachelX + 1 18280 KachelY + 1 51510 -1.38901960 -1.24215139 -79.584961 -71.170032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24212044--1.24215139) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24212044--1.24215139) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38911548--1.38901960) × cos(-1.24212044) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		do = 197.176796590617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38911548--1.38901960) × cos(-1.24215139) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.322760784113743 × 6371000     		du = 197.158902662168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24212044)-sin(-1.24215139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322790077532905-0.322760784113743)×R²
    abs(-1.38901960--1.38911548)×2.92934191621352e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.92934191621352e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.92934191621352e-05×40589641000000     		ar = 38878.0396536836m²