Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18279 / 19611
↖ ↑ ↗
← S 33.385586°
E 20.819092°		 ← 1 020.05 m → S 33.385586°
E 20.830078°		 →
↑
1 020 m
↓
↑
1 020 m
↓
S 33.394759°
E 20.819092°		 ← 1 019.94 m →
1 040 395 m²		 S 33.394759°
E 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557846069335938 y=0.598495483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557846069335938 × 215)
    floor (0.557846069335938 × 32768)
    floor (18279.5)     		tx = 18279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598495483398438 × 215)
    floor (0.598495483398438 × 32768)
    floor (19611.5)     		ty = 19611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18279 / 19611 ti = "15/18279/19611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18279/19611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18279 ÷ 215
    18279 ÷ 32768     		x = 0.557830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19611 ÷ 215
    19611 ÷ 32768     		y = 0.598480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557830810546875 × 2 - 1) × π
    0.11566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36336170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.19696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.618769500295685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36336170} λ = 0.36336170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618769500295685))-π/2
    2×atan(0.538606785491945)-π/2
    2×0.494053961854628-π/2
    0.988107923709256-1.57079632675     		φ = -0.58268840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36336170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.819092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58268840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.385586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18279 KachelY 19611 0.36336170 -0.58268840 20.819092 -33.385586
    Oben rechts KachelX + 1 18280 KachelY 19611 0.36355345 -0.58268840 20.830078 -33.385586
    Unten links KachelX 18279 KachelY + 1 19612 0.36336170 -0.58284850 20.819092 -33.394759
    Unten rechts KachelX + 1 18280 KachelY + 1 19612 0.36355345 -0.58284850 20.830078 -33.394759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58268840--0.58284850) × R
    0.000160099999999996 × 6371000     		dl = 1019.99709999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58268840--0.58284850) × R
    0.000160099999999996 × 6371000     		dr = 1019.99709999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36336170-0.36355345) × cos(-0.58268840) × R
    0.000191749999999991 × 0.83498632137543 × 6371000     		do = 1020.05206340529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36336170-0.36355345) × cos(-0.58284850) × R
    0.000191749999999991 × 0.834898212335571 × 6371000     		du = 1019.94442594392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58268840)-sin(-0.58284850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83498632137543-0.834898212335571)×R²
    abs(0.36355345-0.36336170)×8.81090398588968e-05×R²
    0.000191749999999991×8.81090398588968e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.81090398588968e-05×40589641000000     		ar = 1040395.25379564m²