Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18278 / 51498
↖ ↑ ↗
← S 71.148745°
W 79.595947°		 ← 197.35 m → S 71.148745°
W 79.590454°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
S 71.150520°
W 79.595947°		 ← 197.34 m →
38 938 m²		 S 71.150520°
W 79.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278907775878906 y=0.785804748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278907775878906 × 216)
    floor (0.278907775878906 × 65536)
    floor (18278.5)     		tx = 18278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785804748535156 × 216)
    floor (0.785804748535156 × 65536)
    floor (51498.5)     		ty = 51498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18278 / 51498 ti = "16/18278/51498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18278/51498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18278 ÷ 216
    18278 ÷ 65536     		x = 0.278900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51498 ÷ 216
    51498 ÷ 65536     		y = 0.785797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38921135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785797119140625 × 2 - 1) × π
    -0.57159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7957162597673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38921135} λ = -1.38921135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7957162597673))-π/2
    2×atan(0.166008504540322)-π/2
    2×0.164508235187658-π/2
    0.329016470375316-1.57079632675     		φ = -1.24177986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38921135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24177986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.148745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18278 KachelY 51498 -1.38921135 -1.24177986 -79.595947 -71.148745
    Oben rechts KachelX + 1 18279 KachelY 51498 -1.38911548 -1.24177986 -79.590454 -71.148745
    Unten links KachelX 18278 KachelY + 1 51499 -1.38921135 -1.24181083 -79.595947 -71.150520
    Unten rechts KachelX + 1 18279 KachelY + 1 51499 -1.38911548 -1.24181083 -79.590454 -71.150520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24177986--1.24181083) × R
    3.09699999998525e-05 × 6371000     		dl = 197.30986999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24177986--1.24181083) × R
    3.09699999998525e-05 × 6371000     		dr = 197.30986999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38921135--1.38911548) × cos(-1.24177986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323112407757102 × 6371000     		do = 197.353106993287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38921135--1.38911548) × cos(-1.24181083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323083098814587 × 6371000     		du = 197.335205449647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24177986)-sin(-1.24181083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323112407757102-0.323083098814587)×R²
    abs(-1.38911548--1.38921135)×2.93089425150161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93089425150161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93089425150161e-05×40589641000000     		ar = 38937.9498121388m²