Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18278 / 51297
↖ ↑ ↗
← S 70.788717°
W 79.595947°		 ← 200.98 m → S 70.788717°
W 79.590454°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
S 70.790525°
W 79.595947°		 ← 200.96 m →
40 396 m²		 S 70.790525°
W 79.590454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278907775878906 y=0.782737731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278907775878906 × 216)
    floor (0.278907775878906 × 65536)
    floor (18278.5)     		tx = 18278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782737731933594 × 216)
    floor (0.782737731933594 × 65536)
    floor (51297.5)     		ty = 51297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18278 / 51297 ti = "16/18278/51297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18278/51297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18278 ÷ 216
    18278 ÷ 65536     		x = 0.278900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51297 ÷ 216
    51297 ÷ 65536     		y = 0.782730102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38921135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    -0.565460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77644562612004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38921135} λ = -1.38921135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77644562612004))-π/2
    2×atan(0.169238616808864)-π/2
    2×0.167650066909596-π/2
    0.335300133819192-1.57079632675     		φ = -1.23549619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38921135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23549619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.788717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18278 KachelY 51297 -1.38921135 -1.23549619 -79.595947 -70.788717
    Oben rechts KachelX + 1 18279 KachelY 51297 -1.38911548 -1.23549619 -79.590454 -70.788717
    Unten links KachelX 18278 KachelY + 1 51298 -1.38921135 -1.23552774 -79.595947 -70.790525
    Unten rechts KachelX + 1 18279 KachelY + 1 51298 -1.38911548 -1.23552774 -79.590454 -70.790525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23549619--1.23552774) × R
    3.15499999998803e-05 × 6371000     		dl = 201.005049999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23549619--1.23552774) × R
    3.15499999998803e-05 × 6371000     		dr = 201.005049999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38921135--1.38911548) × cos(-1.23549619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32905260734494 × 6371000     		do = 200.981308252897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38921135--1.38911548) × cos(-1.23552774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329022814150467 × 6371000     		du = 200.963110934084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23549619)-sin(-1.23552774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32905260734494-0.329022814150467)×R²
    abs(-1.38911548--1.38921135)×2.97931944726049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97931944726049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97931944726049e-05×40589641000000     		ar = 40396.4290411704m²