Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18277 / 51302
↖ ↑ ↗
← S 70.797753°
W 79.601440°		 ← 200.89 m → S 70.797753°
W 79.595947°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
S 70.799560°
W 79.601440°		 ← 200.87 m →
40 365 m²		 S 70.799560°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278892517089844 y=0.782814025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278892517089844 × 216)
    floor (0.278892517089844 × 65536)
    floor (18277.5)     		tx = 18277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782814025878906 × 216)
    floor (0.782814025878906 × 65536)
    floor (51302.5)     		ty = 51302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18277 / 51302 ti = "16/18277/51302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18277/51302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18277 ÷ 216
    18277 ÷ 65536     		x = 0.278884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51302 ÷ 216
    51302 ÷ 65536     		y = 0.782806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.442230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38930722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.56561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77692499511624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38930722} λ = -1.38930722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77692499511624))-π/2
    2×atan(0.169157508504962)-π/2
    2×0.167571215949781-π/2
    0.335142431899562-1.57079632675     		φ = -1.23565389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38930722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23565389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.797753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18277 KachelY 51302 -1.38930722 -1.23565389 -79.601440 -70.797753
    Oben rechts KachelX + 1 18278 KachelY 51302 -1.38921135 -1.23565389 -79.595947 -70.797753
    Unten links KachelX 18277 KachelY + 1 51303 -1.38930722 -1.23568543 -79.601440 -70.799560
    Unten rechts KachelX + 1 18278 KachelY + 1 51303 -1.38921135 -1.23568543 -79.595947 -70.799560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23565389--1.23568543) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23565389--1.23568543) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(-1.23565389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328903685315946 × 6371000     		do = 200.890348498904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(-1.23568543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328873899928476 × 6371000     		du = 200.872155948513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23565389)-sin(-1.23568543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328903685315946-0.328873899928476)×R²
    abs(-1.38921135--1.38930722)×2.97853874694498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97853874694498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97853874694498e-05×40589641000000     		ar = 40365.3480060821m²