Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18277 / 51301
↖ ↑ ↗
← S 70.795946°
W 79.601440°		 ← 200.91 m → S 70.795946°
W 79.595947°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 70.797753°
W 79.601440°		 ← 200.89 m →
40 356 m²		 S 70.797753°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278892517089844 y=0.782798767089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278892517089844 × 216)
    floor (0.278892517089844 × 65536)
    floor (18277.5)     		tx = 18277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782798767089844 × 216)
    floor (0.782798767089844 × 65536)
    floor (51301.5)     		ty = 51301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18277 / 51301 ti = "16/18277/51301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18277/51301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18277 ÷ 216
    18277 ÷ 65536     		x = 0.278884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51301 ÷ 216
    51301 ÷ 65536     		y = 0.782791137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.442230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38930722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782791137695312 × 2 - 1) × π
    -0.565582275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.776829121317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38930722} λ = -1.38930722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.776829121317))-π/2
    2×atan(0.169173727055427)-π/2
    2×0.167586983286279-π/2
    0.335173966572557-1.57079632675     		φ = -1.23562236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38930722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23562236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.795946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18277 KachelY 51301 -1.38930722 -1.23562236 -79.601440 -70.795946
    Oben rechts KachelX + 1 18278 KachelY 51301 -1.38921135 -1.23562236 -79.595947 -70.795946
    Unten links KachelX 18277 KachelY + 1 51302 -1.38930722 -1.23565389 -79.601440 -70.797753
    Unten rechts KachelX + 1 18278 KachelY + 1 51302 -1.38921135 -1.23565389 -79.595947 -70.797753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23562236--1.23565389) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23562236--1.23565389) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(-1.23562236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3289334609327 × 6371000     		do = 200.908535081462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(-1.23565389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328903685315946 × 6371000     		du = 200.890348498904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23562236)-sin(-1.23565389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3289334609327-0.328903685315946)×R²
    abs(-1.38921135--1.38930722)×2.9775616754546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9775616754546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9775616754546e-05×40589641000000     		ar = 40356.2037384392m²