Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18277 / 19610
↖ ↑ ↗
← S 33.376412°
E 20.797119°		 ← 1 020.16 m → S 33.376412°
E 20.808105°		 →
↑
1 020.06 m
↓
↑
1 020.06 m
↓
S 33.385586°
E 20.797119°		 ← 1 020.05 m →
1 040 570 m²		 S 33.385586°
E 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557785034179688 y=0.598464965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557785034179688 × 215)
    floor (0.557785034179688 × 32768)
    floor (18277.5)     		tx = 18277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598464965820312 × 215)
    floor (0.598464965820312 × 32768)
    floor (19610.5)     		ty = 19610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18277 / 19610 ti = "15/18277/19610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18277/19610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18277 ÷ 215
    18277 ÷ 32768     		x = 0.557769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19610 ÷ 215
    19610 ÷ 32768     		y = 0.59844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557769775390625 × 2 - 1) × π
    0.11553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36297820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1968994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.618577752697205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36297820} λ = 0.36297820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618577752697205))-π/2
    2×atan(0.538710071951737)-π/2
    2×0.494134019388551-π/2
    0.988268038777102-1.57079632675     		φ = -0.58252829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36297820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.797119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58252829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.376412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18277 KachelY 19610 0.36297820 -0.58252829 20.797119 -33.376412
    Oben rechts KachelX + 1 18278 KachelY 19610 0.36316995 -0.58252829 20.808105 -33.376412
    Unten links KachelX 18277 KachelY + 1 19611 0.36297820 -0.58268840 20.797119 -33.385586
    Unten rechts KachelX + 1 18278 KachelY + 1 19611 0.36316995 -0.58268840 20.808105 -33.385586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58252829--0.58268840) × R
    0.000160110000000047 × 6371000     		dl = 1020.0608100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58252829--0.58268840) × R
    0.000160110000000047 × 6371000     		dr = 1020.0608100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36297820-0.36316995) × cos(-0.58252829) × R
    0.000191750000000046 × 0.835074414514281 × 6371000     		do = 1020.15968144166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36297820-0.36316995) × cos(-0.58268840) × R
    0.000191750000000046 × 0.83498632137543 × 6371000     		du = 1020.05206340558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58252829)-sin(-0.58268840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835074414514281-0.83498632137543)×R²
    abs(0.36316995-0.36297820)×8.80931388512751e-05×R²
    0.000191750000000046×8.80931388512751e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.80931388512751e-05×40589641000000     		ar = 1040570.02473342m²