Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18277 / 19591
↖ ↑ ↗
← S 33.201924°
E 20.797119°		 ← 1 022.20 m → S 33.201924°
E 20.808105°		 →
↑
1 022.10 m
↓
↑
1 022.10 m
↓
S 33.211116°
E 20.797119°		 ← 1 022.09 m →
1 044 737 m²		 S 33.211116°
E 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557785034179688 y=0.597885131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557785034179688 × 215)
    floor (0.557785034179688 × 32768)
    floor (18277.5)     		tx = 18277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597885131835938 × 215)
    floor (0.597885131835938 × 32768)
    floor (19591.5)     		ty = 19591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18277 / 19591 ti = "15/18277/19591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18277/19591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18277 ÷ 215
    18277 ÷ 32768     		x = 0.557769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19591 ÷ 215
    19591 ÷ 32768     		y = 0.597869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557769775390625 × 2 - 1) × π
    0.11553955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36297820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.19573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.61493454832608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36297820} λ = 0.36297820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61493454832608))-π/2
    2×atan(0.540676282318961)-π/2
    2×0.495656715850205-π/2
    0.991313431700411-1.57079632675     		φ = -0.57948290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36297820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.797119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57948290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.201924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18277 KachelY 19591 0.36297820 -0.57948290 20.797119 -33.201924
    Oben rechts KachelX + 1 18278 KachelY 19591 0.36316995 -0.57948290 20.808105 -33.201924
    Unten links KachelX 18277 KachelY + 1 19592 0.36297820 -0.57964333 20.797119 -33.211116
    Unten rechts KachelX + 1 18278 KachelY + 1 19592 0.36316995 -0.57964333 20.808105 -33.211116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57948290--0.57964333) × R
    0.000160429999999989 × 6371000     		dl = 1022.09952999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57948290--0.57964333) × R
    0.000160429999999989 × 6371000     		dr = 1022.09952999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36297820-0.36316995) × cos(-0.57948290) × R
    0.000191750000000046 × 0.836745921248394 × 6371000     		do = 1022.20165967469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36297820-0.36316995) × cos(-0.57964333) × R
    0.000191750000000046 × 0.836658060403913 × 6371000     		du = 1022.09432541854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57948290)-sin(-0.57964333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836745921248394-0.836658060403913)×R²
    abs(0.36316995-0.36297820)×8.78608444807583e-05×R²
    0.000191750000000046×8.78608444807583e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.78608444807583e-05×40589641000000     		ar = 1044736.9850127m²