Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18277 / 14239
↖ ↑ ↗
← N 70.788717°
W 79.601440°		 ← 200.98 m → N 70.788717°
W 79.595947°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 70.786910°
W 79.601440°		 ← 201 m →
40 400 m²		 N 70.786910°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278892517089844 y=0.217277526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278892517089844 × 216)
    floor (0.278892517089844 × 65536)
    floor (18277.5)     		tx = 18277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217277526855469 × 216)
    floor (0.217277526855469 × 65536)
    floor (14239.5)     		ty = 14239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18277 / 14239 ti = "16/18277/14239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18277/14239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18277 ÷ 216
    18277 ÷ 65536     		x = 0.278884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14239 ÷ 216
    14239 ÷ 65536     		y = 0.217269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.442230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38930722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217269897460938 × 2 - 1) × π
    0.565460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77644562612004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38930722} λ = -1.38930722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77644562612004))-π/2
    2×atan(5.9088169051239)-π/2
    2×1.4031462598853-π/2
    2.8062925197706-1.57079632675     		φ = 1.23549619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38930722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23549619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.788717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18277 KachelY 14239 -1.38930722 1.23549619 -79.601440 70.788717
    Oben rechts KachelX + 1 18278 KachelY 14239 -1.38921135 1.23549619 -79.595947 70.788717
    Unten links KachelX 18277 KachelY + 1 14240 -1.38930722 1.23546464 -79.601440 70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 18278 KachelY + 1 14240 -1.38921135 1.23546464 -79.595947 70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23549619-1.23546464) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dl = 201.005050000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23549619-1.23546464) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dr = 201.005050000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(1.23549619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32905260734494 × 6371000     		do = 200.981308252897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38930722--1.38921135) × cos(1.23546464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 200.999505371653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23549619)-sin(1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32905260734494-0.329082400211873)×R²
    abs(-1.38921135--1.38930722)×2.97928669330538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97928669330538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97928669330538e-05×40589641000000     		ar = 40400.0867744082m²