Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18276 / 19616
↖ ↑ ↗
← S 33.431441°
E 20.786133°		 ← 1 019.46 m → S 33.431441°
E 20.797119°		 →
↑
1 019.49 m
↓
↑
1 019.49 m
↓
S 33.440610°
E 20.786133°		 ← 1 019.35 m →
1 039 272 m²		 S 33.440610°
E 20.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557754516601562 y=0.598648071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557754516601562 × 215)
    floor (0.557754516601562 × 32768)
    floor (18276.5)     		tx = 18276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598648071289062 × 215)
    floor (0.598648071289062 × 32768)
    floor (19616.5)     		ty = 19616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18276 / 19616 ti = "15/18276/19616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18276/19616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18276 ÷ 215
    18276 ÷ 32768     		x = 0.5577392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19616 ÷ 215
    19616 ÷ 32768     		y = 0.5986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5577392578125 × 2 - 1) × π
    0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5986328125 × 2 - 1) × π
    -0.197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.619728238288086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36278646} λ = 0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619728238288086))-π/2
    2×atan(0.538090650162539)-π/2
    2×0.49365380090828-π/2
    0.98730760181656-1.57079632675     		φ = -0.58348872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58348872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.431441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18276 KachelY 19616 0.36278646 -0.58348872 20.786133 -33.431441
    Oben rechts KachelX + 1 18277 KachelY 19616 0.36297820 -0.58348872 20.797119 -33.431441
    Unten links KachelX 18276 KachelY + 1 19617 0.36278646 -0.58364874 20.786133 -33.440610
    Unten rechts KachelX + 1 18277 KachelY + 1 19617 0.36297820 -0.58364874 20.797119 -33.440610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58348872--0.58364874) × R
    0.000160020000000038 × 6371000     		dl = 1019.48742000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58348872--0.58364874) × R
    0.000160020000000038 × 6371000     		dr = 1019.48742000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36278646-0.36297820) × cos(-0.58348872) × R
    0.000191739999999996 × 0.834545661366529 × 6371000     		do = 1019.46056693845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36278646-0.36297820) × cos(-0.58364874) × R
    0.000191739999999996 × 0.834457489458506 × 6371000     		du = 1019.3528582923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58348872)-sin(-0.58364874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834545661366529-0.834457489458506)×R²
    abs(0.36297820-0.36278646)×8.8171908023571e-05×R²
    0.000191739999999996×8.8171908023571e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.8171908023571e-05×40589641000000     		ar = 1039272.32159286m²