Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18275 / 14233
↖ ↑ ↗
← N 70.799560°
W 79.612427°		 ← 200.87 m → N 70.799560°
W 79.606934°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 70.797753°
W 79.612427°		 ← 200.89 m →
40 365 m²		 N 70.797753°
W 79.606934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278861999511719 y=0.217185974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278861999511719 × 216)
    floor (0.278861999511719 × 65536)
    floor (18275.5)     		tx = 18275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217185974121094 × 216)
    floor (0.217185974121094 × 65536)
    floor (14233.5)     		ty = 14233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18275 / 14233 ti = "16/18275/14233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18275/14233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18275 ÷ 216
    18275 ÷ 65536     		x = 0.278854370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14233 ÷ 216
    14233 ÷ 65536     		y = 0.217178344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278854370117188 × 2 - 1) × π
    -0.442291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38949897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217178344726562 × 2 - 1) × π
    0.565643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77702086891548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38949897} λ = -1.38949897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77702086891548))-π/2
    2×atan(5.91221688729202)-π/2
    2×1.40324087675411-π/2
    2.80648175350822-1.57079632675     		φ = 1.23568543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38949897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.612427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23568543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.799560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18275 KachelY 14233 -1.38949897 1.23568543 -79.612427 70.799560
    Oben rechts KachelX + 1 18276 KachelY 14233 -1.38940310 1.23568543 -79.606934 70.799560
    Unten links KachelX 18275 KachelY + 1 14234 -1.38949897 1.23565389 -79.612427 70.797753
    Unten rechts KachelX + 1 18276 KachelY + 1 14234 -1.38940310 1.23565389 -79.606934 70.797753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23568543-1.23565389) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23568543-1.23565389) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38949897--1.38940310) × cos(1.23568543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328873899928476 × 6371000     		do = 200.872155948513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38949897--1.38940310) × cos(1.23565389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328903685315946 × 6371000     		du = 200.890348498904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23568543)-sin(1.23565389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328873899928476-0.328903685315946)×R²
    abs(-1.38940310--1.38949897)×2.97853874694498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97853874694498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97853874694498e-05×40589641000000     		ar = 40365.3480060821m²