Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18274 / 14234
↖ ↑ ↗
← N 70.797753°
W 79.617920°		 ← 200.91 m → N 70.797753°
W 79.612427°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
N 70.795946°
W 79.617920°		 ← 200.93 m →
40 360 m²		 N 70.795946°
W 79.612427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278846740722656 y=0.217201232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278846740722656 × 216)
    floor (0.278846740722656 × 65536)
    floor (18274.5)     		tx = 18274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217201232910156 × 216)
    floor (0.217201232910156 × 65536)
    floor (14234.5)     		ty = 14234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18274 / 14234 ti = "16/18274/14234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18274/14234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18274 ÷ 216
    18274 ÷ 65536     		x = 0.278839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14234 ÷ 216
    14234 ÷ 65536     		y = 0.217193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.44232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38959485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217193603515625 × 2 - 1) × π
    0.56561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.77692499511624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38959485} λ = -1.38959485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77692499511624))-π/2
    2×atan(5.91165008776815)-π/2
    2×1.40322511084512-π/2
    2.80645022169023-1.57079632675     		φ = 1.23565389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38959485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.617920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23565389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.797753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18274 KachelY 14234 -1.38959485 1.23565389 -79.617920 70.797753
    Oben rechts KachelX + 1 18275 KachelY 14234 -1.38949897 1.23565389 -79.612427 70.797753
    Unten links KachelX 18274 KachelY + 1 14235 -1.38959485 1.23562236 -79.617920 70.795946
    Unten rechts KachelX + 1 18275 KachelY + 1 14235 -1.38949897 1.23562236 -79.612427 70.795946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23565389-1.23562236) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23565389-1.23562236) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38959485--1.38949897) × cos(1.23565389) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328903685315946 × 6371000     		do = 200.911302952568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38959485--1.38949897) × cos(1.23562236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3289334609327 × 6371000     		du = 200.92949143213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23565389)-sin(1.23562236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328903685315946-0.3289334609327)×R²
    abs(-1.38949897--1.38959485)×2.9775616754546e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9775616754546e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9775616754546e-05×40589641000000     		ar = 40360.4132099625m²