Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18274 / 14232
N 70.801366°
W 79.617920°
← 200.87 m → N 70.801366°
W 79.612427°

200.88 m

200.88 m
N 70.799560°
W 79.617920°
← 200.89 m →
40 353 m²
N 70.799560°
W 79.612427°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278846740722656 y=0.217170715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278846740722656 × 216)
    floor (0.278846740722656 × 65536)
    floor (18274.5)
    tx = 18274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217170715332031 × 216)
    floor (0.217170715332031 × 65536)
    floor (14232.5)
    ty = 14232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18274 / 14232 ti = "16/18274/14232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18274/14232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18274 ÷ 216
    18274 ÷ 65536
    x = 0.278839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14232 ÷ 216
    14232 ÷ 65536
    y = 0.2171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.278839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.44232177734375 × 3.1415926535
    Λ = -1.38959485
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.2171630859375 × 2 - 1) × π
    0.565673828125 × 3.1415926535
    Φ = 1.77711674271472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38959485} λ = -1.38959485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77711674271472))-π/2
    2×atan(5.91278374115972)-π/2
    2×1.40325664123571-π/2
    2.80651328247142-1.57079632675
    φ = 1.23571696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38959485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.617920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23571696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.801366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18274 KachelY 14232 -1.38959485 1.23571696 -79.617920 70.801366
    Oben rechts KachelX + 1 18275 KachelY 14232 -1.38949897 1.23571696 -79.612427 70.801366
    Unten links KachelX 18274 KachelY + 1 14233 -1.38959485 1.23568543 -79.617920 70.799560
    Unten rechts KachelX + 1 18275 KachelY + 1 14233 -1.38949897 1.23568543 -79.612427 70.799560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.23571696-1.23568543) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000
    dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.23571696-1.23568543) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000
    dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38959485--1.38949897) × cos(1.23571696) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328844123657694 × 6371000
    do = 200.874919625474m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38959485--1.38949897) × cos(1.23568543) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328873899928476 × 6371000
    du = 200.89310850455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.23571696)-sin(1.23568543))×
    abs(λ12)×abs(0.328844123657694-0.328873899928476)×
    abs(-1.38949897--1.38959485)×2.97762707818228e-05×
    9.58799999999371e-05×2.97762707818228e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97762707818228e-05×40589641000000
    ar = 40353.1046535454m²