Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18273 / 51295
↖ ↑ ↗
← S 70.785102°
W 79.623413°		 ← 201.02 m → S 70.785102°
W 79.617920°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
S 70.786910°
W 79.623413°		 ← 201 m →
40 404 m²		 S 70.786910°
W 79.617920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278831481933594 y=0.782707214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278831481933594 × 216)
    floor (0.278831481933594 × 65536)
    floor (18273.5)     		tx = 18273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782707214355469 × 216)
    floor (0.782707214355469 × 65536)
    floor (51295.5)     		ty = 51295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18273 / 51295 ti = "16/18273/51295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18273/51295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18273 ÷ 216
    18273 ÷ 65536     		x = 0.278823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51295 ÷ 216
    51295 ÷ 65536     		y = 0.782699584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278823852539062 × 2 - 1) × π
    -0.442352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38969072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782699584960938 × 2 - 1) × π
    -0.565399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77625387852156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38969072} λ = -1.38969072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77625387852156))-π/2
    2×atan(0.169271071018616)-π/2
    2×0.167681617289241-π/2
    0.335363234578482-1.57079632675     		φ = -1.23543309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38969072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.623413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23543309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.785102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18273 KachelY 51295 -1.38969072 -1.23543309 -79.623413 -70.785102
    Oben rechts KachelX + 1 18274 KachelY 51295 -1.38959485 -1.23543309 -79.617920 -70.785102
    Unten links KachelX 18273 KachelY + 1 51296 -1.38969072 -1.23546464 -79.623413 -70.786910
    Unten rechts KachelX + 1 18274 KachelY + 1 51296 -1.38959485 -1.23546464 -79.617920 -70.786910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23543309--1.23546464) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dl = 201.005050000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23543309--1.23546464) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dr = 201.005050000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38969072--1.38959485) × cos(-1.23543309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329112192751237 × 6371000     		do = 201.017702290334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38969072--1.38959485) × cos(-1.23546464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329082400211873 × 6371000     		du = 200.999505371653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23543309)-sin(-1.23546464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329112192751237-0.329082400211873)×R²
    abs(-1.38959485--1.38969072)×2.97925393635823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97925393635823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97925393635823e-05×40589641000000     		ar = 40403.7444670357m²