Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18273 / 23907
↖ ↑ ↗
← S 63.406280°
E 20.753174°		 ← 546.88 m → S 63.406280°
E 20.764160°		 →
↑
546.82 m
↓
↑
546.82 m
↓
S 63.411198°
E 20.753174°		 ← 546.79 m →
299 021 m²		 S 63.411198°
E 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557662963867188 y=0.729598999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557662963867188 × 215)
    floor (0.557662963867188 × 32768)
    floor (18273.5)     		tx = 18273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729598999023438 × 215)
    floor (0.729598999023438 × 32768)
    floor (23907.5)     		ty = 23907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18273 / 23907 ti = "15/18273/23907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18273/23907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18273 ÷ 215
    18273 ÷ 32768     		x = 0.557647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23907 ÷ 215
    23907 ÷ 32768     		y = 0.729583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557647705078125 × 2 - 1) × π
    0.11529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36221121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.45916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44251718336673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36221121} λ = 0.36221121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44251718336673))-π/2
    2×atan(0.236332118051703)-π/2
    2×0.232073987240379-π/2
    0.464147974480758-1.57079632675     		φ = -1.10664835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36221121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.753174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10664835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.406280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18273 KachelY 23907 0.36221121 -1.10664835 20.753174 -63.406280
    Oben rechts KachelX + 1 18274 KachelY 23907 0.36240296 -1.10664835 20.764160 -63.406280
    Unten links KachelX 18273 KachelY + 1 23908 0.36221121 -1.10673418 20.753174 -63.411198
    Unten rechts KachelX + 1 18274 KachelY + 1 23908 0.36240296 -1.10673418 20.764160 -63.411198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10664835--1.10673418) × R
    8.58299999999534e-05 × 6371000     		dl = 546.822929999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10664835--1.10673418) × R
    8.58299999999534e-05 × 6371000     		dr = 546.822929999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36221121-0.36240296) × cos(-1.10664835) × R
    0.000191749999999991 × 0.447661082057848 × 6371000     		do = 546.880348539311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36221121-0.36240296) × cos(-1.10673418) × R
    0.000191749999999991 × 0.447584330939125 × 6371000     		du = 546.786586360198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10664835)-sin(-1.10673418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447661082057848-0.447584330939125)×R²
    abs(0.36240296-0.36221121)×7.67511187232395e-05×R²
    0.000191749999999991×7.67511187232395e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.67511187232395e-05×40589641000000     		ar = 299021.079076026m²