Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18272 / 51488
↖ ↑ ↗
← S 71.130988°
W 79.628906°		 ← 197.53 m → S 71.130988°
W 79.623413°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 71.132764°
W 79.628906°		 ← 197.51 m →
39 011 m²		 S 71.132764°
W 79.623413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278816223144531 y=0.785652160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278816223144531 × 216)
    floor (0.278816223144531 × 65536)
    floor (18272.5)     		tx = 18272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785652160644531 × 216)
    floor (0.785652160644531 × 65536)
    floor (51488.5)     		ty = 51488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18272 / 51488 ti = "16/18272/51488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18272/51488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18272 ÷ 216
    18272 ÷ 65536     		x = 0.27880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51488 ÷ 216
    51488 ÷ 65536     		y = 0.78564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38978659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38978659} λ = -1.38978659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7947575217749))-π/2
    2×atan(0.166167739520802)-π/2
    2×0.164663195545424-π/2
    0.329326391090848-1.57079632675     		φ = -1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38978659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18272 KachelY 51488 -1.38978659 -1.24146994 -79.628906 -71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 18273 KachelY 51488 -1.38969072 -1.24146994 -79.623413 -71.130988
    Unten links KachelX 18272 KachelY + 1 51489 -1.38978659 -1.24150094 -79.628906 -71.132764
    Unten rechts KachelX + 1 18273 KachelY + 1 51489 -1.38969072 -1.24150094 -79.623413 -71.132764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24146994--1.24150094) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24146994--1.24150094) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38978659--1.38969072) × cos(-1.24146994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 197.532239168081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38978659--1.38969072) × cos(-1.24150094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323376354081789 × 6371000     		du = 197.514322180342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24146994)-sin(-1.24150094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.323376354081789)×R²
    abs(-1.38969072--1.38978659)×2.93342280565656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93342280565656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93342280565656e-05×40589641000000     		ar = 39011.0454597849m²