Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18272 / 19040
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
E 20.742188°		 ← 1 078.64 m → S 27.994402°
E 20.753174°		 →
↑
1 078.61 m
↓
↑
1 078.61 m
↓
S 28.004102°
E 20.742188°		 ← 1 078.55 m →
1 163 383 m²		 S 28.004102°
E 20.753174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557632446289062 y=0.581069946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557632446289062 × 215)
    floor (0.557632446289062 × 32768)
    floor (18272.5)     		tx = 18272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581069946289062 × 215)
    floor (0.581069946289062 × 32768)
    floor (19040.5)     		ty = 19040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18272 / 19040 ti = "15/18272/19040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18272/19040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18272 ÷ 215
    18272 ÷ 32768     		x = 0.5576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19040 ÷ 215
    19040 ÷ 32768     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36201947} λ = 0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18272 KachelY 19040 0.36201947 -0.48859448 20.742188 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 18273 KachelY 19040 0.36221121 -0.48859448 20.753174 -27.994402
    Unten links KachelX 18272 KachelY + 1 19041 0.36201947 -0.48876378 20.742188 -28.004102
    Unten rechts KachelX + 1 18273 KachelY + 1 19041 0.36221121 -0.48876378 20.753174 -28.004102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48876378) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dl = 1078.61029999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48876378) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dr = 1078.61029999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36201947-0.36221121) × cos(-0.48859448) × R
    0.000191739999999996 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 1078.64321390393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36201947-0.36221121) × cos(-0.48876378) × R
    0.000191739999999996 × 0.88291398138936 × 6371000     		du = 1078.54612358923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48876378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.88291398138936)×R²
    abs(0.36221121-0.36201947)×7.94795831461359e-05×R²
    0.000191739999999996×7.94795831461359e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.94795831461359e-05×40589641000000     		ar = 1163383.32201392m²