Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18272 / 14018
↖ ↑ ↗
← N 80.326583°
W129.814453°		 ← 51.31 m → N 80.326583°
W129.811707°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.326121°
W129.814453°		 ← 51.31 m →
2 635 m²		 N 80.326121°
W129.811707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139408111572266 y=0.106952667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139408111572266 × 217)
    floor (0.139408111572266 × 131072)
    floor (18272.5)     		tx = 18272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106952667236328 × 217)
    floor (0.106952667236328 × 131072)
    floor (14018.5)     		ty = 14018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18272 / 14018 ti = "17/18272/14018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18272/14018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18272 ÷ 217
    18272 ÷ 131072     		x = 0.139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14018 ÷ 217
    14018 ÷ 131072     		y = 0.106948852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.72119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26568962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106948852539062 × 2 - 1) × π
    0.786102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46961319462605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26568962} λ = -2.26568962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46961319462605))-π/2
    2×atan(11.8178747499847)-π/2
    2×1.48637983815653-π/2
    2.97275967631306-1.57079632675     		φ = 1.40196335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26568962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40196335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.326583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18272 KachelY 14018 -2.26568962 1.40196335 -129.814453 80.326583
    Oben rechts KachelX + 1 18273 KachelY 14018 -2.26564169 1.40196335 -129.811707 80.326583
    Unten links KachelX 18272 KachelY + 1 14019 -2.26568962 1.40195529 -129.814453 80.326121
    Unten rechts KachelX + 1 18273 KachelY + 1 14019 -2.26564169 1.40195529 -129.811707 80.326121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40196335-1.40195529) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40196335-1.40195529) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26568962--2.26564169) × cos(1.40196335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168032033826142 × 6371000     		do = 51.3106029542109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26568962--2.26564169) × cos(1.40195529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16803997921986 × 6371000     		du = 51.3130291757655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40196335)-sin(1.40195529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168032033826142-0.16803997921986)×R²
    abs(-2.26564169--2.26568962)×7.94539371740122e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.94539371740122e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.94539371740122e-06×40589641000000     		ar = 2634.8750959332m²