Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18271 / 19592
↖ ↑ ↗
← S 33.211116°
E 20.731201°		 ← 1 022.09 m → S 33.211116°
E 20.742188°		 →
↑
1 022.04 m
↓
↑
1 022.04 m
↓
S 33.220308°
E 20.731201°		 ← 1 021.99 m →
1 044 562 m²		 S 33.220308°
E 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557601928710938 y=0.597915649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557601928710938 × 215)
    floor (0.557601928710938 × 32768)
    floor (18271.5)     		tx = 18271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597915649414062 × 215)
    floor (0.597915649414062 × 32768)
    floor (19592.5)     		ty = 19592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18271 / 19592 ti = "15/18271/19592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18271/19592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18271 ÷ 215
    18271 ÷ 32768     		x = 0.557586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19592 ÷ 215
    19592 ÷ 32768     		y = 0.597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557586669921875 × 2 - 1) × π
    0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.19580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.615126295924561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36182772} λ = 0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615126295924561))-π/2
    2×atan(0.540572618879196)-π/2
    2×0.495576498051304-π/2
    0.991152996102608-1.57079632675     		φ = -0.57964333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57964333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.211116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18271 KachelY 19592 0.36182772 -0.57964333 20.731201 -33.211116
    Oben rechts KachelX + 1 18272 KachelY 19592 0.36201947 -0.57964333 20.742188 -33.211116
    Unten links KachelX 18271 KachelY + 1 19593 0.36182772 -0.57980375 20.731201 -33.220308
    Unten rechts KachelX + 1 18272 KachelY + 1 19593 0.36201947 -0.57980375 20.742188 -33.220308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57964333--0.57980375) × R
    0.000160419999999939 × 6371000     		dl = 1022.03581999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57964333--0.57980375) × R
    0.000160419999999939 × 6371000     		dr = 1022.03581999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36182772-0.36201947) × cos(-0.57964333) × R
    0.000191749999999991 × 0.836658060403913 × 6371000     		do = 1022.09432541824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36182772-0.36201947) × cos(-0.57980375) × R
    0.000191749999999991 × 0.836570183504305 × 6371000     		du = 1021.98697154851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57964333)-sin(-0.57980375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836658060403913-0.836570183504305)×R²
    abs(0.36201947-0.36182772)×8.7876899608097e-05×R²
    0.000191749999999991×8.7876899608097e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.7876899608097e-05×40589641000000     		ar = 1044562.15448615m²