Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1827 / 1134
↖ ↑ ↗
← N 62.349609°
W 19.423828°		 ← 4 535.40 m → N 62.349609°
W 19.335937°		 →
↑
4 538.51 m
↓
↑
4 538.51 m
↓
N 62.308794°
W 19.423828°		 ← 4 541.57 m →
20 597 953 m²		 N 62.308794°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4461669921875 y=0.2769775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4461669921875 × 212)
    floor (0.4461669921875 × 4096)
    floor (1827.5)     		tx = 1827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2769775390625 × 212)
    floor (0.2769775390625 × 4096)
    floor (1134.5)     		ty = 1134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1827 / 1134 ti = "12/1827/1134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1827/1134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1827 ÷ 212
    1827 ÷ 4096     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1134 ÷ 212
    1134 ÷ 4096     		y = 0.27685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4020584400874))-π/2
    2×atan(4.06355595021395)-π/2
    2×1.3295011479849-π/2
    2.65900229596979-1.57079632675     		φ = 1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1827 KachelY 1134 -0.33900975 1.08820597 -19.423828 62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 1828 KachelY 1134 -0.33747577 1.08820597 -19.335937 62.349609
    Unten links KachelX 1827 KachelY + 1 1135 -0.33900975 1.08749360 -19.423828 62.308794
    Unten rechts KachelX + 1 1828 KachelY + 1 1135 -0.33747577 1.08749360 -19.335937 62.308794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08820597-1.08749360) × R
    0.000712370000000018 × 6371000     		dl = 4538.50927000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08820597-1.08749360) × R
    0.000712370000000018 × 6371000     		dr = 4538.50927000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33747577) × cos(1.08820597) × R
    0.00153397999999999 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 4535.40125917081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33747577) × cos(1.08749360) × R
    0.00153397999999999 × 0.464706153571727 × 6371000     		du = 4541.56700249988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08820597)-sin(1.08749360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.464706153571727)×R²
    abs(-0.33747577--0.33900975)×0.000630896530819713×R²
    0.00153397999999999×0.000630896530819713×6371000²
    0.00153397999999999×0.000630896530819713×40589641000000     		ar = 20597953.1706223m²