Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18269 / 51331
↖ ↑ ↗
← S 70.850079°
W 79.645386°		 ← 200.38 m → S 70.850079°
W 79.639892°		 →
↑
200.37 m
↓
↑
200.37 m
↓
S 70.851881°
W 79.645386°		 ← 200.37 m →
40 149 m²		 S 70.851881°
W 79.639892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278770446777344 y=0.783256530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278770446777344 × 216)
    floor (0.278770446777344 × 65536)
    floor (18269.5)     		tx = 18269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783256530761719 × 216)
    floor (0.783256530761719 × 65536)
    floor (51331.5)     		ty = 51331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18269 / 51331 ti = "16/18269/51331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18269/51331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18269 ÷ 216
    18269 ÷ 65536     		x = 0.278762817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51331 ÷ 216
    51331 ÷ 65536     		y = 0.783248901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278762817382812 × 2 - 1) × π
    -0.442474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39007422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783248901367188 × 2 - 1) × π
    -0.566497802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7797053352942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39007422} λ = -1.39007422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7797053352942))-π/2
    2×atan(0.168687846300562)-π/2
    2×0.167114583695293-π/2
    0.334229167390585-1.57079632675     		φ = -1.23656716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39007422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.645386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23656716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.850079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18269 KachelY 51331 -1.39007422 -1.23656716 -79.645386 -70.850079
    Oben rechts KachelX + 1 18270 KachelY 51331 -1.38997834 -1.23656716 -79.639892 -70.850079
    Unten links KachelX 18269 KachelY + 1 51332 -1.39007422 -1.23659861 -79.645386 -70.851881
    Unten rechts KachelX + 1 18270 KachelY + 1 51332 -1.38997834 -1.23659861 -79.639892 -70.851881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23656716--1.23659861) × R
    3.14499999998219e-05 × 6371000     		dl = 200.367949998865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23656716--1.23659861) × R
    3.14499999998219e-05 × 6371000     		dr = 200.367949998865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39007422--1.38997834) × cos(-1.23656716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328041089445431 × 6371000     		do = 200.384384988423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39007422--1.38997834) × cos(-1.23659861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328011379617537 × 6371000     		du = 200.366236696083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23656716)-sin(-1.23659861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328041089445431-0.328011379617537)×R²
    abs(-1.38997834--1.39007422)×2.97098278948527e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97098278948527e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97098278948527e-05×40589641000000     		ar = 40148.7902674126m²