Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18266 / 51324
↖ ↑ ↗
← S 70.837462°
W 79.661865°		 ← 200.51 m → S 70.837462°
W 79.656372°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 70.839264°
W 79.661865°		 ← 200.49 m →
40 187 m²		 S 70.839264°
W 79.656372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278724670410156 y=0.783149719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278724670410156 × 216)
    floor (0.278724670410156 × 65536)
    floor (18266.5)     		tx = 18266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783149719238281 × 216)
    floor (0.783149719238281 × 65536)
    floor (51324.5)     		ty = 51324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18266 / 51324 ti = "16/18266/51324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18266/51324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18266 ÷ 216
    18266 ÷ 65536     		x = 0.278717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51324 ÷ 216
    51324 ÷ 65536     		y = 0.78314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.44256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39036184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.5662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77903421869952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39036184} λ = -1.39036184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77903421869952))-π/2
    2×atan(0.168801093510326)-π/2
    2×0.167224695504641-π/2
    0.334449391009281-1.57079632675     		φ = -1.23634694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39036184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.661865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23634694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.837462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18266 KachelY 51324 -1.39036184 -1.23634694 -79.661865 -70.837462
    Oben rechts KachelX + 1 18267 KachelY 51324 -1.39026596 -1.23634694 -79.656372 -70.837462
    Unten links KachelX 18266 KachelY + 1 51325 -1.39036184 -1.23637840 -79.661865 -70.839264
    Unten rechts KachelX + 1 18267 KachelY + 1 51325 -1.39026596 -1.23637840 -79.656372 -70.839264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23634694--1.23637840) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23634694--1.23637840) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39036184--1.39026596) × cos(-1.23634694) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32824911527538 × 6371000     		do = 200.511457874525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39036184--1.39026596) × cos(-1.23637840) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328219398274073 × 6371000     		du = 200.493305200296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23634694)-sin(-1.23637840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32824911527538-0.328219398274073)×R²
    abs(-1.39026596--1.39036184)×2.97170013066062e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97170013066062e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97170013066062e-05×40589641000000     		ar = 40187.0251687647m²