Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18266 / 19055
↖ ↑ ↗
← S 28.139816°
E 20.676270°		 ← 1 077.24 m → S 28.139816°
E 20.687256°		 →
↑
1 077.14 m
↓
↑
1 077.14 m
↓
S 28.149503°
E 20.676270°		 ← 1 077.14 m →
1 160 292 m²		 S 28.149503°
E 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557449340820312 y=0.581527709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557449340820312 × 215)
    floor (0.557449340820312 × 32768)
    floor (18266.5)     		tx = 18266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581527709960938 × 215)
    floor (0.581527709960938 × 32768)
    floor (19055.5)     		ty = 19055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18266 / 19055 ti = "15/18266/19055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18266/19055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18266 ÷ 215
    18266 ÷ 32768     		x = 0.55743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19055 ÷ 215
    19055 ÷ 32768     		y = 0.581512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55743408203125 × 2 - 1) × π
    0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.16302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.51215783554068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36086898} λ = 0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51215783554068))-π/2
    2×atan(0.59920120513529)-π/2
    2×0.539831944112573-π/2
    1.07966388822515-1.57079632675     		φ = -0.49113244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49113244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.139816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18266 KachelY 19055 0.36086898 -0.49113244 20.676270 -28.139816
    Oben rechts KachelX + 1 18267 KachelY 19055 0.36106073 -0.49113244 20.687256 -28.139816
    Unten links KachelX 18266 KachelY + 1 19056 0.36086898 -0.49130151 20.676270 -28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 18267 KachelY + 1 19056 0.36106073 -0.49130151 20.687256 -28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49113244--0.49130151) × R
    0.000169069999999993 × 6371000     		dl = 1077.14496999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49113244--0.49130151) × R
    0.000169069999999993 × 6371000     		dr = 1077.14496999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36086898-0.36106073) × cos(-0.49113244) × R
    0.000191749999999991 × 0.881799337382485 × 6371000     		do = 1077.24068117038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36086898-0.36106073) × cos(-0.49130151) × R
    0.000191749999999991 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 1077.14325519179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49113244)-sin(-0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881799337382485-0.881719587179151)×R²
    abs(0.36106073-0.36086898)×7.97502033340614e-05×R²
    0.000191749999999991×7.97502033340614e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.97502033340614e-05×40589641000000     		ar = 1160291.91301419m²