Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18264 / 51528
↖ ↑ ↗
← S 71.201920°
W 79.672851°		 ← 196.82 m → S 71.201920°
W 79.667358°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 71.203690°
W 79.672851°		 ← 196.80 m →
38 744 m²		 S 71.203690°
W 79.667358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278694152832031 y=0.786262512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278694152832031 × 216)
    floor (0.278694152832031 × 65536)
    floor (18264.5)     		tx = 18264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786262512207031 × 216)
    floor (0.786262512207031 × 65536)
    floor (51528.5)     		ty = 51528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18264 / 51528 ti = "16/18264/51528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18264/51528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18264 ÷ 216
    18264 ÷ 65536     		x = 0.2786865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51528 ÷ 216
    51528 ÷ 65536     		y = 0.7862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39055358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39055358} λ = -1.39055358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79859247374451))-π/2
    2×atan(0.165531714562918)-π/2
    2×0.164044196865544-π/2
    0.328088393731089-1.57079632675     		φ = -1.24270793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39055358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.672851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24270793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.201920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18264 KachelY 51528 -1.39055358 -1.24270793 -79.672851 -71.201920
    Oben rechts KachelX + 1 18265 KachelY 51528 -1.39045771 -1.24270793 -79.667358 -71.201920
    Unten links KachelX 18264 KachelY + 1 51529 -1.39055358 -1.24273883 -79.672851 -71.203690
    Unten rechts KachelX + 1 18265 KachelY + 1 51529 -1.39045771 -1.24273883 -79.667358 -71.203690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24270793--1.24273883) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24270793--1.24273883) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39055358--1.39045771) × cos(-1.24270793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322233979857054 × 6371000     		do = 196.81657397511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39055358--1.39045771) × cos(-1.24273883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322204727907482 × 6371000     		du = 196.798707242063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24270793)-sin(-1.24273883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322233979857054-0.322204727907482)×R²
    abs(-1.39045771--1.39055358)×2.9251949571707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9251949571707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9251949571707e-05×40589641000000     		ar = 38744.3196829076m²