Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18264 / 19635
↖ ↑ ↗
← S 33.605470°
E 20.654297°		 ← 1 017.41 m → S 33.605470°
E 20.665283°		 →
↑
1 017.38 m
↓
↑
1 017.38 m
↓
S 33.614619°
E 20.654297°		 ← 1 017.30 m →
1 035 044 m²		 S 33.614619°
E 20.665283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557388305664062 y=0.599227905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557388305664062 × 215)
    floor (0.557388305664062 × 32768)
    floor (18264.5)     		tx = 18264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599227905273438 × 215)
    floor (0.599227905273438 × 32768)
    floor (19635.5)     		ty = 19635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18264 / 19635 ti = "15/18264/19635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18264/19635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18264 ÷ 215
    18264 ÷ 32768     		x = 0.557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19635 ÷ 215
    19635 ÷ 32768     		y = 0.599212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557373046875 × 2 - 1) × π
    0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.19842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62337144265921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36048549} λ = 0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62337144265921))-π/2
    2×atan(0.536133842643041)-π/2
    2×0.492135117698345-π/2
    0.984270235396689-1.57079632675     		φ = -0.58652609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58652609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.605470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18264 KachelY 19635 0.36048549 -0.58652609 20.654297 -33.605470
    Oben rechts KachelX + 1 18265 KachelY 19635 0.36067723 -0.58652609 20.665283 -33.605470
    Unten links KachelX 18264 KachelY + 1 19636 0.36048549 -0.58668578 20.654297 -33.614619
    Unten rechts KachelX + 1 18265 KachelY + 1 19636 0.36067723 -0.58668578 20.665283 -33.614619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58652609--0.58668578) × R
    0.000159690000000046 × 6371000     		dl = 1017.38499000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58652609--0.58668578) × R
    0.000159690000000046 × 6371000     		dr = 1017.38499000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36048549-0.36067723) × cos(-0.58652609) × R
    0.000191739999999996 × 0.832868409421781 × 6371000     		do = 1017.41167698833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36048549-0.36067723) × cos(-0.58668578) × R
    0.000191739999999996 × 0.832780015009381 × 6371000     		du = 1017.30369653627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58652609)-sin(-0.58668578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832868409421781-0.832780015009381)×R²
    abs(0.36067723-0.36048549)×8.83944124001612e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83944124001612e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83944124001612e-05×40589641000000     		ar = 1035044.44217258m²