Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1826 / 925
↖ ↑ ↗
← N 69.748551°
W 19.511718°		 ← 3 382.83 m → N 69.748551°
W 19.423828°		 →
↑
3 385.29 m
↓
↑
3 385.29 m
↓
N 69.718107°
W 19.511718°		 ← 3 387.70 m →
11 460 119 m²		 N 69.718107°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4459228515625 y=0.2259521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4459228515625 × 212)
    floor (0.4459228515625 × 4096)
    floor (1826.5)     		tx = 1826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2259521484375 × 212)
    floor (0.2259521484375 × 4096)
    floor (925.5)     		ty = 925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1826 / 925 ti = "12/1826/925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1826/925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1826 ÷ 212
    1826 ÷ 4096     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 925 ÷ 212
    925 ÷ 4096     		y = 0.225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225830078125 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72266042474634))-π/2
    2×atan(5.59940546279177)-π/2
    2×1.39406909623832-π/2
    2.78813819247665-1.57079632675     		φ = 1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1826 KachelY 925 -0.34054373 1.21734187 -19.511718 69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 1827 KachelY 925 -0.33900975 1.21734187 -19.423828 69.748551
    Unten links KachelX 1826 KachelY + 1 926 -0.34054373 1.21681051 -19.511718 69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 1827 KachelY + 1 926 -0.33900975 1.21681051 -19.423828 69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21734187-1.21681051) × R
    0.000531360000000092 × 6371000     		dl = 3385.29456000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21734187-1.21681051) × R
    0.000531360000000092 × 6371000     		dr = 3385.29456000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33900975) × cos(1.21734187) × R
    0.00153397999999999 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 3382.82917337654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33900975) × cos(1.21681051) × R
    0.00153397999999999 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 3387.70065349674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21734187)-sin(1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346639241317444)×R²
    abs(-0.33900975--0.34054373)×0.000498463809433247×R²
    0.00153397999999999×0.000498463809433247×6371000²
    0.00153397999999999×0.000498463809433247×40589641000000     		ar = 11460119.1652644m²