Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18259 / 19636
↖ ↑ ↗
← S 33.614619°
E 20.599365°		 ← 1 017.30 m → S 33.614619°
E 20.610351°		 →
↑
1 017.32 m
↓
↑
1 017.32 m
↓
S 33.623768°
E 20.599365°		 ← 1 017.20 m →
1 034 870 m²		 S 33.623768°
E 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557235717773438 y=0.599258422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557235717773438 × 215)
    floor (0.557235717773438 × 32768)
    floor (18259.5)     		tx = 18259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599258422851562 × 215)
    floor (0.599258422851562 × 32768)
    floor (19636.5)     		ty = 19636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18259 / 19636 ti = "15/18259/19636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18259/19636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18259 ÷ 215
    18259 ÷ 32768     		x = 0.557220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19636 ÷ 215
    19636 ÷ 32768     		y = 0.5992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.198486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62356319025769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35952675} λ = 0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62356319025769))-π/2
    2×atan(0.536031050121675)-π/2
    2×0.492055271677054-π/2
    0.984110543354108-1.57079632675     		φ = -0.58668578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58668578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.614619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18259 KachelY 19636 0.35952675 -0.58668578 20.599365 -33.614619
    Oben rechts KachelX + 1 18260 KachelY 19636 0.35971849 -0.58668578 20.610351 -33.614619
    Unten links KachelX 18259 KachelY + 1 19637 0.35952675 -0.58684546 20.599365 -33.623768
    Unten rechts KachelX + 1 18260 KachelY + 1 19637 0.35971849 -0.58684546 20.610351 -33.623768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58668578--0.58684546) × R
    0.000159679999999995 × 6371000     		dl = 1017.32127999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58668578--0.58684546) × R
    0.000159679999999995 × 6371000     		dr = 1017.32127999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35952675-0.35971849) × cos(-0.58668578) × R
    0.000191739999999996 × 0.832780015009381 × 6371000     		do = 1017.30369653627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35952675-0.35971849) × cos(-0.58684546) × R
    0.000191739999999996 × 0.832691604897714 × 6371000     		du = 1017.19569690637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58668578)-sin(-0.58684546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832780015009381-0.832691604897714)×R²
    abs(0.35971849-0.35952675)×8.84101116664926e-05×R²
    0.000191739999999996×8.84101116664926e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.84101116664926e-05×40589641000000     		ar = 1034869.765747m²