Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18259 / 18980
↖ ↑ ↗
← S 27.410786°
E 20.599365°		 ← 1 084.43 m → S 27.410786°
E 20.610351°		 →
↑
1 084.41 m
↓
↑
1 084.41 m
↓
S 27.420538°
E 20.599365°		 ← 1 084.33 m →
1 175 910 m²		 S 27.420538°
E 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557235717773438 y=0.579238891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557235717773438 × 215)
    floor (0.557235717773438 × 32768)
    floor (18259.5)     		tx = 18259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579238891601562 × 215)
    floor (0.579238891601562 × 32768)
    floor (18980.5)     		ty = 18980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18259 / 18980 ti = "15/18259/18980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18259/18980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18259 ÷ 215
    18259 ÷ 32768     		x = 0.557220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18980 ÷ 215
    18980 ÷ 32768     		y = 0.5792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.158447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.497776765654663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35952675} λ = 0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497776765654663))-π/2
    2×atan(0.607880619589343)-π/2
    2×0.546193932869485-π/2
    1.09238786573897-1.57079632675     		φ = -0.47840846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47840846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.410786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18259 KachelY 18980 0.35952675 -0.47840846 20.599365 -27.410786
    Oben rechts KachelX + 1 18260 KachelY 18980 0.35971849 -0.47840846 20.610351 -27.410786
    Unten links KachelX 18259 KachelY + 1 18981 0.35952675 -0.47857867 20.599365 -27.420538
    Unten rechts KachelX + 1 18260 KachelY + 1 18981 0.35971849 -0.47857867 20.610351 -27.420538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47840846--0.47857867) × R
    0.000170210000000004 × 6371000     		dl = 1084.40791000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47840846--0.47857867) × R
    0.000170210000000004 × 6371000     		dr = 1084.40791000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35952675-0.35971849) × cos(-0.47840846) × R
    0.000191739999999996 × 0.887728739119416 × 6371000     		do = 1084.4277138633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35952675-0.35971849) × cos(-0.47857867) × R
    0.000191739999999996 × 0.887650367209776 × 6371000     		du = 1084.33197665546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47840846)-sin(-0.47857867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887728739119416-0.887650367209776)×R²
    abs(0.35971849-0.35952675)×7.8371909640218e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8371909640218e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8371909640218e-05×40589641000000     		ar = 1175910.08448259m²