Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18257 / 22609
↖ ↑ ↗
← N 75.441339°
W129.855652°		 ← 76.78 m → N 75.441339°
W129.852905°		 →
↑
76.77 m
↓
↑
76.77 m
↓
N 75.440649°
W129.855652°		 ← 76.78 m →
5 894 m²		 N 75.440649°
W129.852905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139293670654297 y=0.172496795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139293670654297 × 217)
    floor (0.139293670654297 × 131072)
    floor (18257.5)     		tx = 18257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172496795654297 × 217)
    floor (0.172496795654297 × 131072)
    floor (22609.5)     		ty = 22609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18257 / 22609 ti = "17/18257/22609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18257/22609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18257 ÷ 217
    18257 ÷ 131072     		x = 0.139289855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22609 ÷ 217
    22609 ÷ 131072     		y = 0.172492980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139289855957031 × 2 - 1) × π
    -0.721420288085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.26640868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172492980957031 × 2 - 1) × π
    0.655014038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.05778728999015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26640868} λ = -2.26640868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05778728999015))-π/2
    2×atan(7.82862814749316)-π/2
    2×1.44374804191946-π/2
    2.88749608383892-1.57079632675     		φ = 1.31669976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26640868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.855652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31669976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.441339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18257 KachelY 22609 -2.26640868 1.31669976 -129.855652 75.441339
    Oben rechts KachelX + 1 18258 KachelY 22609 -2.26636074 1.31669976 -129.852905 75.441339
    Unten links KachelX 18257 KachelY + 1 22610 -2.26640868 1.31668771 -129.855652 75.440649
    Unten rechts KachelX + 1 18258 KachelY + 1 22610 -2.26636074 1.31668771 -129.852905 75.440649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31669976-1.31668771) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dl = 76.7705500002624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31669976-1.31668771) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dr = 76.7705500002624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26640868--2.26636074) × cos(1.31669976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251371086660336 × 6371000     		do = 76.7752001577868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26640868--2.26636074) × cos(1.31668771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251382749726076 × 6371000     		du = 76.7787623582714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31669976)-sin(1.31668771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251371086660336-0.251382749726076)×R²
    abs(-2.26636074--2.26640868)×1.16630657409078e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16630657409078e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16630657409078e-05×40589641000000     		ar = 5894.21107873081m²